Непрерывная дробь

Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}},}$

где ${\displaystyle a_{0}}$ есть целое число, а все остальные ${\displaystyle a_{n}}$ — натуральные числа (положительные целые)^[1]. При этом числа ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ называются неполными частными или элементами цепной дроби^[2].

Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.

Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.

Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число ${\displaystyle x}$ может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]}$, где

${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor ,\quad x_{0}=x-a_{0},}$

${\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},}$

${\displaystyle \dots }$

где ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ обозначает целую часть числа ${\displaystyle x}$.

Для рационального числа ${\displaystyle x}$ это разложение оборвётся по достижении нулевого ${\displaystyle x_{n}}$ для некоторого ${\displaystyle n}$. В этом случае ${\displaystyle x}$ представляется конечной цепной дробью ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]}$. Эффективным алгоритмом для преобразования обычной дроби в цепную является алгоритм Евклида. Представление рационального числа в виде непрерывной дроби неоднозначно: если приведённый здесь алгоритм даёт непрерывную дробь ${\displaystyle [\dots ,a_{n}]}$, то непрерывная дробь ${\displaystyle [\dots ,a_{n}-1,1]}$ соответствует тому же самому числу.

Для иррационального ${\displaystyle x}$ все величины ${\displaystyle x_{n}}$ будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае ${\displaystyle x}$ представляется бесконечной цепной дробью ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]}$. Если последовательность ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]}$ состоит из бесконечно повторяющегося набора одних и тех же чисел (периода), то цепная дробь называется периодической. Число представляется бесконечной периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью, то есть иррациональным корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Подходящие дроби

Подходящие дроби для золотого сечения

n-й («энной») подходящей дробью для цепной дроби ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]}$ называется конечная цепная дробь ${\displaystyle [a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]}$, значение которой есть некоторое рациональное число ${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен ${\displaystyle x}$. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен ${\displaystyle x}$. Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

${\displaystyle p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};}$

${\displaystyle q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.}$

Таким образом, величины ${\displaystyle p_{n}}$ и ${\displaystyle q_{n}}$ являются полиномами от ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$, называемыми континуантами:

${\displaystyle p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}),}$

${\displaystyle q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}$

Последовательности как числителей ${\displaystyle \{p_{n}\}}$, так и знаменателей ${\displaystyle \{q_{n}\}}$ подходящих дробей являются строго возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением

${\displaystyle p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.}$

(1)

Подходящие дроби, как видно из этого соотношения, всегда несократимы. Перепишем соотношение в виде

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n-1}}{q_{n-1}q_{n}}}.}$

Отсюда следует^[3], что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}\right|<{\frac {1}{q_{n-1}q_{n}}}<{\frac {1}{q_{n-1}^{2}}}.}$

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число ${\displaystyle x}$ разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

${\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.}$

Следствия^[4]:

1. Подходящая дробь ${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$ является наилучшим приближением исходного числа среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит ${\displaystyle q_{n}.}$
2. Мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Примеры

Разложим число ${\displaystyle \pi =3{,}14159265\dots }$ в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:

${\displaystyle 3,\ {\frac {22}{7}},\ {\frac {333}{106}},\ {\frac {355}{113}},\ {\frac {103993}{33102}},\ \dots }$

Вторая подходящая дробь ${\displaystyle 22/7}$ — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь ${\displaystyle 355/113}$ была впервые получена в Древнем Китае.

Свойства золотого сечения

Ниже приведено разложение золотого сечения:

${\displaystyle \Phi =[1;1,1,1,\dots ].}$

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для ${\displaystyle \Phi }$ не использует чисел, больших 1, состоит в том, что ${\displaystyle \Phi }$ является одним из самых «плохо» приближаемых чисел. Точнее, теорема Гурвица^[5] утверждает, что любое действительное число ${\displaystyle r}$ может быть приближено дробью ${\displaystyle m/n}$ так, что

${\displaystyle \left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.}$

Хотя практически все действительные числа ${\displaystyle r}$ имеют бесконечно много приближений ${\displaystyle m/n}$, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от ${\displaystyle r}$, чем эта верхняя граница, приближения для ${\displaystyle \Phi }$ (то есть чи́сла 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы^[6], удерживая расстояние на почти точно ${\displaystyle 1/(n^{2}{\sqrt {5}})}$ от ${\displaystyle \Phi }$, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Можно показать, что этим свойством обладает любое действительное число вида ${\displaystyle (a+b\Phi )/(c+d\Phi )}$, где ${\displaystyle a,b,c}$ и ${\displaystyle d}$ являются целыми числами, причём ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Свойства и примеры

• Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

  ${\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4].}$

• Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ],}$

${\displaystyle {\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\dots ],}$

золотое сечение ${\displaystyle \Phi =[1;1,1,1,\dots ].}$

• Теорема Гаусса — Кузьмина: почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел распределение элементов соответствующих им цепных дробей подчиняется статистике Гаусса — Кузьмина; в частности, существует среднее геометрическое всех элементов, и оно равно постоянной Хинчина.
• Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа ${\displaystyle x}$ в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие ${\displaystyle n}$, то говорят, что число ${\displaystyle x}$ относится к классу ${\displaystyle F(n)}$. Любое вещественное число может быть представлено в виде суммы двух чисел из класса ${\displaystyle F(4)}$ и в виде произведения двух чисел из класса ${\displaystyle F(4).}$^[7] В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представлено в виде суммы трёх чисел из класса ${\displaystyle F(3)}$ и в виде суммы четырёх чисел из класса ${\displaystyle F(2)}$. Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно^[8][9].

Открытые проблемы

Предпринимались попытки найти закономерности в разложениях в непрерывную дробь кубических иррациональностей^[10], а также других алгебраических чисел степени, большей 2, и трансцендентных чисел^[11]. Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, основание натурального логарифма представимо в виде^[12]

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ],}$

а тангенс угла в 1 радиан — в виде^[13]

${\displaystyle \operatorname {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ].}$

У числа ${\displaystyle \pi }$ простой закономерности не видно^[14]:

${\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]}$

Однако для обобщённой непрерывной дроби (см. ниже раздел Вариации и обобщения) прослеживается ясная закономерность.

Неизвестно, ограничены ли сверху неполные частные разложения таких чисел, как ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ или ${\displaystyle \pi }$^[11][15].

Приложения цепных дробей

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

${\displaystyle {\frac {1}{4}};\ {\frac {7}{29}};\ {\frac {8}{33}};\ {\frac {31}{128}};\ {\frac {132}{545}}\cdots }$

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось, поскольку оно мало отличается от следующего, гораздо более точного. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет^[16]) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864 год), однако большого интереса он не вызвал.

Теория музыки

В теории музыки при построении равномерно темперированного строя требуют, чтобы интервал октавы ${\displaystyle 2:1}$ делился на ${\displaystyle n}$ равных частей, и при этом интервал из ${\displaystyle m}$ таких частей был по возможности близок к интервалу квинты ${\displaystyle 3:2}$. Эти требования приводят к задаче отыскания рационального приближения для ${\displaystyle \log _{2}1{,}5\approx 0{,}585}$. Третья подходящая дробь ${\displaystyle 3/5}$ даёт равномерно темперированную пентатонику. Четвёртая подходящая дробь ${\displaystyle 7/12}$ приводит к классическому делению октавы на 12 равных полутонов^[17].

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: ${\displaystyle ax\equiv b{\pmod {m}}}$, где ${\displaystyle a,\ b}$ известны, причём можно считать, что ${\displaystyle a}$ взаимно просто с ${\displaystyle m}$. Надо найти ${\displaystyle x}$.

Разложим ${\displaystyle {\frac {m}{a}}}$ в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}}$. Подставим в формулу (1):

${\displaystyle mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.}$

Отсюда вытекает:

${\displaystyle ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m}},}$

или

${\displaystyle \ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m}}.}$

Вывод: класс вычетов ${\displaystyle x\equiv (-1)^{n}p_{n-1}b{\pmod {m}}}$ является решением исходного сравнения.

Другие приложения

• Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta (3)}$ (константа Апери)
• Решение в целых числах уравнения Пелля^[18]: ${\displaystyle \;x^{2}-ny^{2}=1\;}$ и других уравнений диофантова анализа
• Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
• Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC.
• Характеристика ортогональных многочленов
• Характеристика устойчивых многочленов

Вариации и обобщения

Ряд источников дают обобщённое определение непрерывной дроби, допуская для числителей в её звеньях не только 1, но и другие целые (в некоторых источниках допускаются даже комплексные) числа^[1]:

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.}$

Это обобщение повышает гибкость теории, но имеет два недостатка: разложение вещественного числа в непрерывную дробь становится неоднозначным и, кроме того, существование предела подходящих дробей уже не гарантировано — предел может быть бесконечен или вообще отсутствовать.

Для обобщённых непрерывных дробей формулы Эйлера имеют вид^[19]:

${\displaystyle p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+b_{n}p_{n-2};}$

${\displaystyle q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+b_{n}q_{n-2}.}$

При этом

${\displaystyle p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}.}$

Частный случай, в котором все ${\displaystyle b_{n}=-1}$, называется непрерывной дробью Хирцебруха^[20].

Выше было сказано, что разложение числа ${\displaystyle \pi }$ в классическую непрерывную дробь не содержит видимой закономерности. Для обобщённой же непрерывной дроби имеет место формула Браункера^[21]:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Другое направление обобщения состоит в построении и применении аппарата непрерывных дробей не для чисел, а для многочленов — используется тот факт, что делимость многочленов по своим свойствам близка к делимости целых чисел^[22]. Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь^[23]:

${\displaystyle {\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+\ldots }}}}}}.}$

Пример: получим разложение для функции ${\displaystyle f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2}}}}$:

${\displaystyle f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x}}}}}}.}$

Можно установить соответствие между непрерывными дробями и углами на решётках на плоскости. В связи с этим существуют различные варианты «многомерных непрерывных дробей»^[24].

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}}$ — это 12-я подходящая дробь для ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ или одна треть от 4-й подходящей дроби для ${\displaystyle {\sqrt {27}}}$.

Книга Катальди

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа ${\displaystyle \pi }$ (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение для исходного числа.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

См. также

• Алгоритм Евклида
• Континуанта
• Несократимая дробь
• Разложение Энгеля
• Числа Фибоначчи

Примечания

1. Цепная дробь // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. Архивировано 17 ноября 2020 года.
2. Арнольд, 2000, с. 12.
3. Виноградов, 1952, с. 18.
4. Виноградов, 1952, с. 22, пункт 2.
5. Hardy, G. H.; Wright, E. M. Theorem 193 // An Introduction to the Theory of Numbers (англ.). — Fifth. — Oxford, 1979.
6. Дэвенпорт, 1965, с. 93—95.
7. M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
8. B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
9. T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241—246.
10. Вычисления в алгебре и теории чисел, 1976, Х. М. Старк. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом, с. 155—156.
11. P. Shiu. Computation of continued fractions without input values. — 1995. Архивировано 23 ноября 2015 года.
12. последовательность A003417 в OEIS: разложение e в непрерывную дробь.
13. последовательность A093178 в OEIS: разложение ${\displaystyle \operatorname {tg} \,1}$ в непрерывную дробь.
14. последовательность A001203 в OEIS: разложение ${\displaystyle \pi }$ в непрерывную дробь.
15. последовательность A002945 в OEIS: разложение ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ в непрерывную дробь.
16. На самом деле из-за постепенного замедления вращения Земли, и, соответственно, постепенного уменьшения числа суток в году, подобный календарь накопил бы фактическую ошибку в одни сутки уже через 4000 лет.
17. Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — С. 14—15. — 20 с. Архивировано 22 февраля 2014 года.
18. Бугаенко В. О. Уравнения Пелля Архивная копия от 8 июля 2011 на Wayback Machine, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
19. Основы вычислительной математики, 1963, с. 57.
20. Е. Ю. Смирнов. Фризы и цепные дроби  (неопр.). МЦНМО (17 марта 2020). Дата обращения: 17 апреля 2020. Архивировано 21 апреля 2021 года.
21. John Wallis, Arithmetica Infinitorum (Oxford, England: Leon Lichfield, 1656), page 182. Архивная копия от 24 апреля 2021 на Wayback Machine. Brouncker expressed, as a continued fraction, the ratio of the area of a circle to the area of the circumscribed square (i.e., 4/π). The continued fraction appears at the top of page 182 (roughly) as: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c, where the square denotes the ratio that is sought. (Note: On the preceding page, Wallis names Brouncker as: "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher" (Lord William Viscount and Baron Brouncker).)
22. Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2). — М.: Гостехиздат, 1956.
23. Основы вычислительной математики, 1963, с. 70—73.
24. Karpenkov, 2013.

Литература

• Арнольд В. И. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Бескин Н. М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
• Бескин Н. М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
• Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. — Киев: Наука, 1986. — 174 с.
• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
• Вычисления в алгебре и теории чисел / Пер. с англ. Э. Г. Белаги, под ред. Б. Б. Венкова и Д. К. Фаддеева. — М.: Мир, 1976. — (Математика. Новое в зарубежной науке).
• Гладковский С. Н. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — Изд. 2-е. — М.: Физматлит, 1963. — С. 53—73. — 660 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.
• Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М.: Наука, 1965.
• Сизый С. В. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и её применение в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 312 с.
• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.
• Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. — М.: Гостехиздат, 1956. — 204 с.
• Brezinski C. History of continued fractions and Padé approximants. NY: Springer, 1980.
• Karpenkov O. Geometry of Continued Fractions. — Springer, 2013. — ISBN 978-3-642-39367-9.
• Lorentzen, Lisa; Waadeland, Haakon (1992). Continued fractions with applications (engelsk). North-Holland Elsevier Science Publishers. ISBN 0444892656.