Черепица с квадратами, длина сторон которых является последовательными числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21Спираль Фибоначчи: приближение золотой спирали, созданной путём рисования круговых дуг, соединяющих противоположные углы квадратов в мозаике Фибоначчи;[1] (см. предыдущее изображение)
Чи́сла Фибона́ччи (вариант написания — Фибона́чи[2]) — элементы числовой последовательности[3]:
в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел[4]. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[5].
Иногда член , равный нулю, опускается — тогда последовательность Фибоначчи начинается с [6][7].
Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Соответственно, члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: :
Образец длиной может быть построен путём добавления к образцу длиной , либо к образцу длиной — и просодицисты показали, что число образцов длиною является суммой двух предыдущих чисел в последовательности[10]. Дональд Кнут рассмотрел этот эффект в книге «Искусство программирования».
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Книга абака» (1202)[13][14]. Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, где условия таковы: изначально дана новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и производить новую пару кроликов, причём уже каждый месяц; кролики никогда не умирают[15][16], — а в качестве искомого выдвигает количество пар кроликов через год:
в начале первого месяца есть только одна новорождённая пара (1);
d конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1);
в конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2);
в конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3).
в конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5).
В конце -го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количеству новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад, то есть [17].
Возможно, эта задача также оказалась первой, моделирующей экспоненциальный рост популяции.
Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века Эдуардом Люка[18].
Формула Бине
Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от :
С равенством Кассини сопряжено более общее утверждение, названное в честь Эжена Каталана:
.
Из тождества Кассини следует:
.
Свойства
Тринадцать () способов расположения длинных (красные) и коротких слогов (серые) в каденции[англ.] длины шесть: пять () заканчивается длинным слогом и восемь () — короткимЧисла Фибоначчи — это суммы «мелких» диагоналей (показаны красным) треугольника ПаскаляПоследовательные наклоны плоскости и график приближений к золотому сечению, рассчитанному путём деления каждого числа Фибоначчи на предыдущее
Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть . Одним из следствий этого является то, что делится на тогда и только тогда, когда делится на (за исключением ). В частности, делится на (то есть является чётным) только для ; делится на только для делится на только для и так далее. Другое следствие: может быть простым только для простых (с единственным исключением ). Например, число простое, и его индекс 13 также прост. Но, даже если число простое, число не всегда оказывается простым, и наименьший контрпример — Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
в частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом , последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом , последние три цифры — с периодом последние четыре — с периодом последние пять — с периодом и так далее.
Натуральное число является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда или является квадратом[32].
Число Фибоначчи равно количеству кортежей длины из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а — начинающихся с единицы.
Произведение любых подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых чисел Фибоначчи.
Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательные числа Фибоначчи, встречаются у самых разных растенийЧисла Фибоначчи в интерьере станции метро Ломоносовский проспектЧисло возможных предков на линии наследования Х-хромосомы в данном поколении предков следует последовательности Фибоначчи[34]Иллюстрация модели Фогеля для n = 1 ... 500
Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат[35][36].
В природе
Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи, если листья (почки) на однолетнем приросте (побеге, стебле) имеют так называемое спиральное листорасположение. При этом число последовательно расположенных листьев (почек) по спирали плюс один, а также число совершенных при этом полных оборотов спирали вокруг оси однолетнего прироста (побега, стебля) выражаются обычно первыми числами Фибоначчи.
В поэзии чаще находят отношение «золотого сечения» (золотую пропорцию), связанное через формулу Бине с числами Фибоначчи. Например, в поэме Шоты Руставели «Витязь в тигровой шкуре» и на картинах художников[41].
Однако числа Фибоначчи встречаются и непосредственно в поэзии и в музыке[42].
В кодировании
В теории кодирования предложены устойчивые так называемые «коды Фибоначчи»[43], причём основание этих кодов — иррациональное число.
↑ 12Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229—244, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7
Дональд Кнут. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4.
Ball, Keith M (2003), "8: Fibonacci's Rabbits Revisited", Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN978-0-691-11321-0.
Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN978-1-4419-7022-0.
Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Sigler, Laurence E, trans, Springer, ISBN978-0-387-95419-6