Тригамма-функция

Тригамма-функция действительного аргумента x

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ и определяется как

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\ln \Gamma (z)\;,}$

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция^[1]. Из этого определения следует, что

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\psi (z)\;,}$

где ${\displaystyle \psi (z)}$ — дигамма-функция (первая из полигамма-функций)^[2].

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}$

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function)^[2],

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.}$

Эти формулы верны, когда ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (в указанных точках функция ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Существуют также другие обозначения для ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$, используемые в литературе:

${\displaystyle \psi '(z),\;\;\;\psi ^{(1)}(z)\;.}$

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции ${\displaystyle {\displaystyle F'(z)=\psi _{1}(z+1)}}$^[1].

Интегральные представления

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.}$

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{\rm {d}}x\;.}$

Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e^—t:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,{\rm {d}}t\;.}$

Другие формулы

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению^[2]

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,}$

а также формуле дополнения^[2]

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}\;.}$

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство^[2]:

${\displaystyle \psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\;.}$

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли:

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.}$

Частные значения

Ниже приведены частные значения тригамма-функции^[1]:

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,}$

где G — постоянная Каталана, а ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$ — функция Клаузена^[англ.], связанная с мнимой частью дилогарифма через

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )=\mathrm {Im} \left[\mathrm {Li} _{2}\!\left(e^{\mathrm {i} \theta }\right)\right]\;.}$

Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)}$ с функцией Клаузена^[3][4], получаем:

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4-{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4-{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;.}$

Для значений за пределами интервала ${\displaystyle 0<z\leq 1}$ можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например^[1],

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.}$

См. также

• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Полигамма-функция
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

Примечания

1. Eric W. Weisstein. Trigamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. Eric W. Weisstein. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. C.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 331—342
4. P.J. de Doelder, On the Clausen integral ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$ and a related integral, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 325—330

Ссылки

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions^[англ.], (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4
• Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com