Полюс (комплексный анализ)

Модуль Гамма-функции ${\displaystyle \Gamma (z)}$. Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа (Re z>0) полюсов нет, функция всюду конечна.

Изолированная особая точка ${\displaystyle z_{0}}$ называется полюсом функции ${\displaystyle f(z)}$, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty }$.

Критерии полюса

• Точка ${\displaystyle z_{0}}$ является полюсом тогда, и только тогда, когда в разложении функции ${\displaystyle f(z)}$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}}$,

где ${\displaystyle P(z)}$ — правильная часть ряда Лорана.

Если ${\displaystyle f_{-n}\neq \ 0}$, то ${\displaystyle z_{0}}$ называется полюсом порядка ${\displaystyle n}$.

Если ${\displaystyle n=1}$, то полюс называется простым.

• Точка ${\displaystyle z_{0}}$ является полюсом порядка ${\displaystyle k}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty }$, а ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty }$
• Точка ${\displaystyle z_{0}}$ является полюсом порядка ${\displaystyle k}$ тогда и только тогда, когда она является для функции ${\displaystyle F(z)={\frac {1}{f(z)}}}$ нулем порядка ${\displaystyle k}$.

См. также

• Нуль (комплексный анализ)
• Мероморфная функция
• Вычет
• Интегральная формула Коши

• Другие типы изолированных особых точек:
  • Устранимая особая точка
  • Существенно особая точка

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.