Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел ${\displaystyle b_{1}}$, ${\displaystyle b_{2}}$, ${\displaystyle b_{3}}$, ${\displaystyle \ldots }$ (члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на ненулевую константу ${\displaystyle q}$ (знаменатель прогрессии). Выражаясь математически: ${\displaystyle b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n+1}=b_{n}*q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}$^[1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

${\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}$

Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.^[2]

Геометрическая прогрессия возрастает, если выполняется один из наборов условий:

${\displaystyle b_{1}>0\quad }$ и ${\displaystyle \quad q>1}$

или

${\displaystyle b_{1}<0\quad }$ и ${\displaystyle \quad 0<q<1}$.

Геометрическая прогрессия убывает, если выполняется один из наборов условий:

${\displaystyle b_{1}<0\quad }$ и ${\displaystyle \quad q>1}$

или

${\displaystyle b_{1}>0\quad }$ и ${\displaystyle \quad 0<q<1}$.

Доказательство

Запишем разность между ${\displaystyle \left(n+1\right)}$-м и ${\displaystyle n}$-м членами геометрической прогрессии по формуле общего члена:

${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}\cdot \left(q-1\right).}$

Для возрастающей прогрессии эта разность должна быть положительной независимо от номера ${\displaystyle n}$, а для убывающей — отрицательной. Условия, выписанные в доказываемом утверждении, как раз и гарантируют, что разность членов ${\displaystyle b_{n+1}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ будут иметь определённый знак.■

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей^[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

При ${\displaystyle q<0}$ — знакочередующейся^[3], при ${\displaystyle q=1}$ — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

${\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}$

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов^[4].

Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии, формулировка которого звучит следующим образом:

Последовательность положительных чисел тогда и только тогда является геометрической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.

Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим ${\displaystyle b_{n}=-{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}$, где ${\displaystyle n\geqslant 2}$.

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим ${\displaystyle b_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}$, где ${\displaystyle j=0}$ либо ${\displaystyle j=1}$ и ${\displaystyle n\geqslant 2}$.

Графическая интерпретация

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами ${\displaystyle \left(n;\,b_{n}\right)}$, где ${\displaystyle n}$ — номер (натуральное число), а ${\displaystyle b_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-й член некоторой геометрической прогрессии, у которой ${\displaystyle q>0}$, то все точки будут принадлежать графику функции:

${\displaystyle y=b_{1}\cdot q^{x-1}={\frac {b_{1}}{q}}\cdot q^{x},}$

где ${\displaystyle q}$ — это знаменатель геометрической прогрессии, а ${\displaystyle b_{1}}$ — её первый член^[2]. Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ являлась геометрической прогрессией при ${\displaystyle q>0}$, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle b_{n}}$ являлась показательной функцией (от ${\displaystyle n}$), заданной на множестве натуральных чисел. ^[2]

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[5]:8—9.
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$ — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

Свойства знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

• ${\displaystyle q={\dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

• ${\displaystyle q={\sqrt[{n-k}]{\dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .}$

Свойства членов геометрической прогрессии

• Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

${\displaystyle b_{n}=b_{n-1}\cdot q}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

• Формула общего (${\displaystyle n}$-го) члена:

${\displaystyle b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}.}$

• Обобщённая формула общего члена:

${\displaystyle b_{n}=b_{k}\cdot q^{n-k},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .}$

• ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}$, если ${\displaystyle 1<i<n}$.

Доказательство

${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

${\displaystyle \log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)}$ Формула общего члена арифметической прогрессии: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}$.
В нашем случае
${\displaystyle a_{1}=\log(b_{1})}$,
${\displaystyle d=\log(q)}$.

• ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}$, если ${\displaystyle 1<i<n}$.

Доказательство

${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

Пусть ${\displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}}$ — соответственно ${\displaystyle k}$-й, ${\displaystyle l}$-й, ${\displaystyle m}$-й члены геометрической прогрессии, где ${\displaystyle k,\,l,\,m\in \mathbb {N} }$. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии:

${\displaystyle b_{k}^{l-m}\cdot b_{l}^{m-k}\cdot b_{m}^{k-l}=1.}$

• Произведение первых ${\displaystyle n}$ членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  ${\displaystyle P_{n}=\left(b_{1}\cdot b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.}$

Доказательство

${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.}$ Раскроем произведение ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}q^{i-1}}$: ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.}$ Выражение ${\displaystyle 0+1+2+\ldots +(n-1)}$ представляет собой арифметическую прогрессию с ${\displaystyle a_{1}=0}$ и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна ${\displaystyle S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.}$ Откуда ${\displaystyle P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1}b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.}$

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  ${\displaystyle P_{k,n}={\dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

Доказательство

${\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

• Сумма ${\displaystyle n}$ первых членов геометрической прогрессии

  ${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\dfrac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\dfrac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}$

Доказательство

• Доказательство через сумму:

  ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}.}$

  То есть ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}}$ или

  ${\displaystyle \left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}.}$

  Откуда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

• Доказательство индукцией по ${\displaystyle n}$.

  Пусть ${\displaystyle S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

  При ${\displaystyle n=1}$ имеем: ${\displaystyle S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.}$

  При ${\displaystyle n\rightarrow n+1}$ имеем: ${\displaystyle S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}$

• Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому сумма ${\displaystyle n}$ первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится и неограниченно приближается с ростом ${\displaystyle n}$. Сумма всех членов убывающей прогрессии:

${\displaystyle \left|q\right|<1}$, то ${\displaystyle b_{n}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$, и

${\displaystyle S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}}$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$.

Доказательство

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}}{1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}.}$ Если ${\displaystyle \left|q\right|<1,}$ то ${\displaystyle q^{n}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty .}$ Поэтому ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.}$ Следовательно ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.}$

Свойства суммы геометрической прогрессии

• ${\displaystyle b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}}$
• ${\displaystyle S_{n}=\sigma _{n}\cdot b_{1}b_{n}}$

где ${\displaystyle \sigma _{n}}$ — сумма обратных величин, то есть ${\displaystyle \sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}}$.

Свойства произведения геометрической прогрессии

Произведением первых ${\displaystyle n}$ членов геометрической прогрессии ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ называется произведение от ${\displaystyle b_{1}}$ до ${\displaystyle b_{n}}$, то есть выражение вида ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}\cdot b_{2}\cdot b_{3}\cdot \ldots \cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\cdot b_{n}.}$ Обозначение: ${\displaystyle P_{n}}$.

• ${\displaystyle P_{n}={b}_{1}^{n}\cdot {q}^{\frac {n\left(n-1\right)}{2}}}$
• ${\displaystyle b_{n+1}={\dfrac {P_{n+1}}{P_{n}}}}$
• ${\displaystyle P_{2n}=P_{n}\cdot {\sqrt[{3}]{P_{3n}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{P_{k}^{l-m}}}\cdot {\sqrt[{l}]{P_{l}^{m-k}}}\cdot {\sqrt[{m}]{P_{m}^{k-l}}}=1}$

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда

Примечания

1. Геометрическая прогрессия Архивная копия от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
2. Е. В. Якушева, А. В. Попов, О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Геометрическая прогрессия и её свойства // Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начала анализа. 9 и 11 выпускные классы: учебное пособие : книга. — М. : АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2004. — С. 48. — 416 с. — 8000 экз. — ББК 22.12я72. — УДК 51^(G). — ISBN 5-94776-013-4.
3. Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
4. Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.
5. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивировано 19 мая 2017 года.