Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.
Triunghiuri de construcție Wythoff cu 3 oglinzi care formează un triunghi dreptunghic
Metoda se bazează pe ideea de pavare a unei sfere, cu triunghiuri sferice — vezi triunghi Schwarz. Această construcție aranjează trei oglinzi pe laturile unui triunghi, ca într-un caleidoscop. Totuși, diferit de un caleidoscop, oglinzile nu sunt paralele, ci se intersectează, într-un punct. Prin urmare, ele definesc un triunghi sferic pe suprafața oricărei sfere cu centrul în acel punct și reflexiile repetate produc o multitudine de copii ale triunghiului. Dacă unghiurile triunghiului sferic sunt alese corespunzător, triunghiurile vor pava sfera, o dată sau de mai multe ori.
Dacă se plasează un vârf într-un punct potrivit în interiorul triunghiului sferic închis de oglinzi, este posibil să se asigure că reflexiile acelui punct produc un poliedru uniform. Pentru un triunghi sferic ABC avem patru posibilități care vor produce un poliedru uniform:
Un vârf este plasat în punctul A. Acest lucru produce un poliedru cu simbolul Wythoff a|bc, unde a este egal cu π împărțit la unghiul A al triunghiului și similar pentru b și c.
Un vârf este plasat într-un punct de pe dreapta AB aflat pe bisectoarea unghiului C. Aceasta produce un poliedru cu simbolul Wythoff ab|c.
Vârful se află într-un punct astfel încât, atunci când este rotit în jurul oricărui colț al triunghiului cu de două ori unghiul în acel punct, este deplasat cu aceeași distanță față de fiecare unghi. Sunt folosite doar reflexiile cu numere pare ale vârfului original. Poliedrul are simbolul Wythoff |abc.
Simbol Wythoff pq2| = 432|. Orbita modelului Wythoff de mai sus sub acțiunea simetriei octaedrice.
Construcții newythoffiene
Politopurile uniforme care nu pot fi create prin oglindiri conform construcției Wythoff sunt numite newythoffiene. În general, ele pot fi obținute din formele wythoffiene fie prin alternări (omiterea alternativă a vârfurilor), fie prin inserarea de straturi alternate de figuri parțiale. Ambele tipuri de figuri vor avea simetrie de rotație. Uneori, formele snub sunt considerate wythoffiene, chiar dacă pot fi construite doar prin alternarea formelor omnitrunchiate.
enCoxeterRegular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction)
enCoxeterThe Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN: 0-486-40919-8 (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
en Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [1]Arhivat în , la Wayback Machine. (Section 4: The Kaleidoscope)
enW.A. Wythoff, A relation between the polytopes of the C600-family, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences, 20 (1918) 966–970.
