Pavare pătrată

Pavare pătrată
Descriere
Tip	pavare uniformă
Configurația vârfului	4.4.4.4 (sau 4^4)
Configurația feței	V4.4.4.4 (sau V4^4)
Simbol Wythoff	4 | 2 4
Simbol Schläfli	{4,4} {∞}×{∞}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	p4m, [4,4], (*442)
Grup de rotație	p4, [4,4]^+, (442)
Poliedru dual	autoduală
Proprietăți	tranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri
Figura vârfului

Pavarea (auto)duală

În geometrie pavarea pătrată, teselarea pătrată sau grila pătrată este o pavare regulată a planului euclidian. Are simbolul Schläfli {4,4}, ceea ce înseamnă că are 4 pătrate în jurul fiecărui vârf.

Unghiul intern al pătratului este de 90°, astfel încât patru pătrate în jurul unui punct acoperă 360°. Este una dintre cele trei pavări regulate ale planului. Celelalte două sunt pavarea triunghiulară și pavarea hexagonală.

Colorarea uniformă

Există 9 colorări uniforme distincte ale unei pavări pătrate. Enumerarea culorilor prin indici pe cele 4 pătrate din jurul unui vârf este: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Cazurile (i) au simetrie de reflexie simplă, iar cele (ii) simetrie de reflexie translată. Trei pot fi văzute în același domeniu de simetrie drept colorări reduse: 1112_i din 1213, 1123_i din 1234 și 1112_ii redus de la 1123_ii.

9 colorări uniforme
1111	1212	1213	1112i	1122
p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123i	1123ii	1112ii
pmm (*2222)		cmm (2*22)

Poliedre și pavări înrudite

Această pavare este legată din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări regulate, extinzându-se în planul hiperbolic: {4,p}, p=3,4,5...

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {4,n}
Sferică	Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Această pavare este, de asemenea, legată din punct de vedere topologic, ca parte a secvenței de poliedre regulate și pavări cu patru fețe pe vârf, începând cu octaedrul, cu simbolul Schläfli {n,4} și diagrama Coxeter , cu n progresând la infinit.

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {n,4}
Sferice		Euclidiană	Pavări hiperbolice
2^4	3^4	4^4	5^4	6^4	7^4	8^4	...∞^4

Variante de pavări cvasiregulate duale: V(4.n)^2
Simetrie *4n2 [n,4]	Sferică	Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracompactă	Necompactă
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Pavare   Conf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Variante de pavări expandate cu simetrii orbifold *n42: n.4.4.4
Simetrie *n42 [n,4]	Sferică	Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Figuri expandate
Config.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Figuri rombice config.	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Construcții Wythoff la pavarea pătrata

Ca și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care pot fi bazate pe pavarea pătrată regulată.

Desenând dalele colorate cu roșu pe fețele originale, galbene în vârfurile originale și albastre de-a lungul laturilor originale, toate cele 8 forme sunt distincte. Totuși, tratând fețele în mod identic, există doar trei forme distincte din punct de vedere topologic: pavare pătrată, pavare pătrată trunchiată și pavare pătrată snub.

Pavări uniforme cu simetria pavării părate
Simetrie: [4,4], (*442)							[4,4]^+, (442)	[4,4^+], (4*2)
{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Duale uniforme
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Pavări topologic echivalente

Pavările izoedrice au fețe identice (sunt tranzitive pe fețe) și pe vârfuri, există 18 variante, cu 6 identificate prin triunghiuri care nu se conectează „latură la latură”, sau ca patrulatere cu două laturi coliniare. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare.^[1]

Pot fi realizate și alte pavări cu patrulatere, care sunt echivalente din punct de vedere topologic cu pătratele (4 patrulatere în jurul fiecărui vârf).

O variantă izogonală cu două tipuri de fețe, văzute ca o pavare pătrată snub cu perechi de triunghiuri combinate în romburi	Pavările pătrate topologice pot fi realizate cu fețe concave și cu mai mult de o latură în comun la două fețe; această variantă are 3 laturi comune	O variantă 2-izoedrică cu fețe rombice

Pavări patrulatere izoedrice

Pătrat p4m, (*442)	Patrulater p4g, (4*2)	Dreptunghi pmm, (*2222)	Paralelogram p2, (2222)	Paralelogram pmg, (22*)	Romb cmm, (2*22)	Romb pmg, (22*)
Trapez cmm, (2*22)		Patrulater pgg, (22×)	Romboid pmg, (22*)	Patrulater pgg, (22×)	Patrulater p2, (2222)

Patrulatere degenerate sau triunghiuri care nu sunt aliniate latură la latură

Isoscele pmg, (22*)	Isoscele pgg, (22×)		Scalene pgg, (22×)		Scalene p2, (2222)

Note

1. en Grünbaum, Tilings and Patterns, p. 473–481 (din lista de 107 de pavări izoedrice)

Bibliografie

• en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
• en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1”. 
• en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. p. 36. ISBN 0-486-23729-X. 
• en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
• en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]

Legături externe

• Materiale media legate de pavare pătrată la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Square Grid la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Regular tessellation la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Uniform tessellation la MathWorld.

v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu	Familia	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ / ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E^2	Pavare uniformă	{3^[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Hexagonală
E^3	Fagure convex uniform	{3^[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E^4	4-fagure uniform	{3^[5]}	δ5	hδ5	qδ5	Fagure 24-celule
E^5	5-fagure uniform	{3^[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E^6	6-fagure uniform	{3^[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E^7	7-fagure uniform	{3^[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E^8	8-fagure uniform	{3^[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
E^n-1	(n−1)-fagure uniform	{3^[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21