Função homogênea

Uma função homogénea não é necessariamente contínua, como mostrado por este exemplo. Esta função f é definida por:
${\displaystyle f(x,y)=x}$ se ${\displaystyle xy>0}$ ou
${\displaystyle f(x,y)=0}$ se ${\displaystyle xy\leq 0}$.
Esta função é homogénea de grau 1, i.e. ${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y)=\alpha f(x,y)}$ para quaisquer números reais ${\displaystyle \alpha ,x,y}$. É descontínua em ${\displaystyle y=0}$.

Uma função ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ diz-se homogênea ^{(português brasileiro)} ou homogénea ^{(português europeu)} de grau ${\displaystyle k}$ se:

${\displaystyle f\left(t\mathbf {x} \right)=t^{k}f\left(\mathbf {x} \right)}$ ^[1]

quando ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle t\mathbf {x} }$ pertencem ao domínio de ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$.

Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.

O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vaschy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).^[2]

Exemplos

• ${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}}$ é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

${\displaystyle f\left(tx,ty\right)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}=t^{2}(x^{2}+y^{2})=t^{2}f\left(x,y\right)}$

• ${\displaystyle f\left(x,y\right)={\frac {x^{2}}{y^{2}}}}$ é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

${\displaystyle f\left(tx,ty\right)={\frac {(tx)^{2}}{(ty)^{2}}}}$ ${\displaystyle ={\frac {t^{2}x^{2}}{t^{2}y^{2}}}=t^{0}\times {\frac {x^{2}}{y^{2}}}=t^{0}f\left(x,y\right)=f\left(x,y\right)}$

Propriedades

Uma função homogênea algébrica u de duas variáveis (x,y) pode ser escrita como ${\displaystyle u=x^{k}\phi ({\frac {y}{x}})\,}$ ^[3]

Analogamente, para uma função de várias variáveis (x, y, z, ...) pode-se mostrar que ${\displaystyle u=x^{k}\phi ({\frac {y}{x}},{\frac {z}{x}},\ldots )\,}$ ^[3]

Derivadas de funções homogêneas

Se ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}$ é homogênea de grau ${\displaystyle k}$, então, para qualquer n, a função de derivada parcial ${\displaystyle {\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}{\partial x_{n}}}}$, se existir, é homogênea de grau ${\displaystyle (k-1)}$ ^{[4][Nota 1]}

Identidade de Euler

A identidade de Euler aplicada às funções homogêneas dita o seguinte.

Seja ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{m})}$ uma função homogénea de grau ${\displaystyle n}$, então verifica-se a seguinte igualdade:

${\displaystyle x_{1}{\partial f \over \partial x_{1}}+x_{2}{\partial f \over \partial x_{2}}+x_{3}{\partial f \over \partial x_{3}}+...+x_{m}{\partial f \over \partial x_{m}}=n\cdot f}$

Exemplo

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ é homogénea de grau ${\displaystyle n=2}$. Então

${\displaystyle x{\partial f \over \partial x}+y{\partial f \over \partial y}=x(2x)+y(2y)=2(x^{2}+y^{2})=2\cdot f(x,y)}$

Notas e referências

Notas

1. Note que a função constante, f(x) = c, é homogênea em grau zero, e a função nula, f(x) = 0, é homogênea em qualquer grau

Referências

1. INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.
2. LOPES, Hélio Bernardo. A importância da noção de função homogênea. Disponível em: <http://www.ensino.eu/em-artigo19.pdf>. Acesso em: 29 de março de 2011
3. Thomas Jephson, The fluxional calculus: An elementary treatise (1830), Chapter IV. Fluxional Equations of two Variables of the first order and degree, p.109 [google books]
4. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995, página 928.