Twierdzenie Weierstrassa o kresach

Karl Weierstraß (1815–1897)

Twierdzenie Weierstrassa o kresach^[1] (znane też pod innymi nazwami) – twierdzenie analizy matematycznej i topologii o własnościach ciągłych funkcji rzeczywistych. W najprostszym przypadku jest to fakt analizy rzeczywistej o takich funkcjach na domkniętych i ograniczonych przedziałach rzeczywistych; mówi, że funkcje te mają globalne ekstrema – wartości najwyższą i najniższą, inaczej maksimum i minimum^[2]. Twierdzenia Weierstrassa o kresach używa się w dowodach innych faktów analizy rzeczywistej jak twierdzenie Rolle’a^[3].

Przedziały domknięte i ograniczone są ciągowo zwarte na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa i zwarte na mocy twierdzenia Heinego-Borela. Powyższe twierdzenie Weierstrassa o kresach ma uogólnienia opisujące funkcje ciągłe na innych zbiorach zwartych, rozważanych w:

• dowolnych przestrzeniach euklidesowych^[4][5];
• dowolnych innych przestrzeniach metrycznych^[6];
• dowolnych innych przestrzeniach topologicznych^[1][7]. Ta postać jest też znana jako uogólnione twierdzenie Weierstrassa^[8].

Nazwa upamiętnia niemieckiego matematyka z XIX wieku: Karla Weierstrassa^[5].

Nazewnictwo

Fakt ten jest też znany jako twierdzenie:

• Weierstrassa^[9][10][11];
• Weierstrassa o osiąganiu kresów^[12][13][4];
• Weierstrassa o przyjmowaniu kresów^[14][15];
• Weierstrassa o ekstremach globalnych^[16];
• Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym^[2];
• o najmniejszej i największej wartości funkcji^[17].

Bywa też wykładany bez osobnej nazwy^[18].

Przypadek zmiennej rzeczywistej

Wykres przedstawia ciągłą funkcję ${\displaystyle f}$ określoną na przedziale domkniętym ${\displaystyle [a,b].}$ Twierdzenie Weierstrassa o kresach mówi, że w tym przedziale istnieją ekstrema globalne, czyli maksimum i minimum, oznaczone odpowiednio ${\displaystyle c,d.}$

Twierdzenie

Jeśli funkcja rzeczywista ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ jest ciągła, to:

1. jej obraz jest ograniczony;
2. funkcja ta osiąga swoje kresy, tzn. ma globalne minimum i maksimum:

${\displaystyle \exists c,d\in [a,b]\ \forall x\in [a,b]:f(d)\leqslant f(x)\leqslant f(c).}$

Dowód

1. Każdy z przedziałów ${\displaystyle (-M,M),}$ dla ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ,}$ jest zbiorem otwartym, a ${\displaystyle f}$ jest ciągła, więc ich przeciwobrazy ${\displaystyle f^{-1}[(-M,M)]}$ też są otwarte (w zbiorze ${\displaystyle [a,b]}$). Rodzina ${\displaystyle \{f^{-1}[(-M,M)]:M\in \mathbb {R} \}}$ pokrywa przedział ${\displaystyle [a,b],}$ więc ze zwartości tego ostatniego istnieje podpokrycie skończone – istnieją ${\displaystyle M_{1},\dots ,M_{s}>0,}$ dla których ${\displaystyle [a,b]=f^{-1}[(-M_{1},M_{1})]\cup \ldots \cup f^{-1}[(-M_{s},M_{s})].}$ Wówczas dla dowolnego ${\displaystyle x\in [a,b]}$ mamy ${\displaystyle -M\leqslant f(x)\leqslant M,}$ gdzie ${\displaystyle M=\max\{M_{1},\dots ,M_{S}\},}$ co oznacza, że ${\displaystyle f}$ jest funkcją ograniczoną.
2. Oznaczmy kres górny obrazu ${\displaystyle f}$ przez ${\displaystyle {\tilde {d}}.}$ ${\displaystyle {\tilde {d}}\in \mathbb {R} }$ i istnieje ciąg ${\displaystyle (d_{n})_{n=0}^{\infty }}$ punktów przedziału ${\displaystyle [a,b]}$ dla których ciąg ${\displaystyle f(d_{n})}$ jest zbieżny do ${\displaystyle {\tilde {d}}.}$ Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg ${\displaystyle (d_{n_{k}})_{k=0}^{\infty }}$ ciągu ${\displaystyle (d_{n})_{n=0}^{\infty }}$ zbieżny do pewnej granicy ${\displaystyle d.}$ Wtedy na mocy ciągłości funkcji ${\displaystyle f}$ otrzymujemy ${\displaystyle f({d})=\lim _{k\to \infty }f(d_{n_{k}})={\tilde {d}}.}$ A więc wartość funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle {d}\in [a,b]}$ jest kresem górnym obrazu ${\displaystyle f}$ (a więc także ${\displaystyle f(x)\leqslant f(d)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in [a,b]}$). W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby ${\displaystyle c,}$ dla której ${\displaystyle f({c})=\inf\{f(x):a\leqslant x\leqslant b\}.}$

Analiza założeń

Funkcja tangens na przedziale ograniczonym ${\displaystyle {\big (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\big )}}$ jest ciągła i nie jest na nim ograniczona. Ograniczenie obrazu funkcji jest gwarantowane tylko przy dodatkowym założeniu, że przedział, na którym funkcja jest ciągła, jest także domknięty^[19].

Oba założenia o dziedzinie funkcji – czyli że odcinek ${\displaystyle [a,b]}$ jest domknięty i ograniczony – są istotne^[19]. Na przykład:

• funkcja ${\displaystyle f\colon (0,1]\ni x\mapsto 1/x\in \mathbb {R} }$ jest ciągła, ale nie jest ograniczona;
• podobnie ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto e^{x}\in \mathbb {R} }$ nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.

Przypisy

1. Przymusiński 1995 ↓, s. 201.
2. Szymon Charzyński, Twierdzenie Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, kanał Khan Academy na YouTube, 3 maja 2014 [dostęp 2024-07-09].
3. Strzelecki 2018 ↓, s. 126.
4. Leksiński, Nabiałek i Żakowski 1995 ↓, s. 113.
5. Wrzosek 2016 ↓, s. 122.
6. Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient, wazniak.mimuw.edu.pl, 17 maja 2024 [dostęp 2024-07-09].
7. Smoluk 2017 ↓, s. 34.
8. Kuratowski 1972 ↓, s. 197.
9. Michał Bełdziński, Twierdzenie Weierstrassa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
10. Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 8: Granica i ciągłość funkcji, 8. Twierdzenie Weierstrassa, wazniak.mimuw.edu.pl, 17 maja 2024 [dostęp 2024-07-09].
11. Szymczyk i in. 2001 ↓, s. 84.
12. Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Własności funkcji ciągłych, serwis Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-07-09].
13. Leksińska i Leksiński 1978 ↓, s. 111.
14. Strzelecki 2018 ↓, s. 92.
15. Krych 2010 ↓, s. 119.
16. Rudnicki 2006 ↓, s. 534, 535.
17. Banach 1957 ↓, s. 296.
18. Leja 1963 ↓, s. 57.
19. Strzelecki 2018 ↓, s. 93.

Bibliografia

Książki publikowane drukiem

• Stefan Banach: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
• Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-235-0776-5.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 2.
• Anna Leksińska, Wacław Leksiński: Elementy matematyki wyższej. Warszawa: PWN, 1978, seria: Matematyka dla politechnik.
• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Teodor Przymusiński: Topologia ogólna [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14946-8.
• Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.
• Tomasz Szymczyk, Stanisław Rabiej, Anna Pielesz, Jan Desselberger: Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne, astronomiczne. Bielsko-Biała: PPU Park, 2001. ISBN 83-7266-054-9.
• Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów. Wyd. II, zmienione. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2016. ISBN 978-83-235-0460-3.

Dokumenty cyfrowe

• PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2024-07-08] .

Linki zewnętrzne

• Alicja Dembczak-Kołodziejczyk, Jak wyznaczyć największą/najmniejszą wartość funkcji?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Extreme Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-14].