Wykres dla przedziału [0,1] Funkcja Riemanna – funkcja rzeczywista zdefiniowana wzorem:
f
(
x
)
=
{
0
gdy
x
jest niewymierne
1
n
gdy
x
=
m
n
dla pewnego ułamka nieskracalnego
m
n
o dodatnim
n
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{gdy }}x{\mbox{ jest niewymierne}}\\{\frac {1}{n}}&{\mbox{gdy }}x={\frac {m}{n}}{\mbox{ dla pewnego ułamka nieskracalnego }}\,{\frac {m}{n}}{\mbox{ o dodatnim }}n\end{cases}}}
[1] W szczególności,
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
x
{\displaystyle x}
całkowitych , ponieważ dla każdej liczby całkowitej x nieskracalną postacią ułamka
m
n
=
x
{\displaystyle {\tfrac {m}{n}}=x}
x
1
.
{\displaystyle {\tfrac {x}{1}}.}
Nazwa pochodzi od nazwiska Bernharda Riemanna , jednak występują też inne nazwy[1]
Ciągłość: Funkcja ta jest ciągła w każdym niewymiernym punkcie swojej dziedziny , i nieciągła w punktach wymiernych.
Całkowalność: Funkcja Riemanna jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale domkniętym
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle [a,b],}
∫ ∫ -->
a
b
f
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=0.}
Przypisy
.svg)
![{\displaystyle [a,b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d493b840f8326ba81ff9d95b4edf1effd5f2842)
