Trójka uporządkowana

Trójka uporządkowana – zbiór zbudowany z obiektów ${\displaystyle x,y,z}$ tak, aby była określona kolejność tych elementów, oznaczany zazwyczaj symbolem ${\displaystyle (x,y,z)}$^[1][2]. Elementy trójki uporządkowanej nazywa się jej współrzędnymi^[1]. Przy powyższym zapisie, ${\displaystyle x}$ nazywa się pierwszą współrzędną, ${\displaystyle y}$ – drugą współrzędną, a ${\displaystyle z}$ – trzecią współrzędną^[1].

Definicje formalne

Za pomocą pary zagnieżdzonej

Formalnie, przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej, definiuje się trójkę uporządkowaną ${\displaystyle (x,y,z)}$ jako parę uporządkowaną ${\displaystyle ((x,y),z)}$^[1][2][3].

${\displaystyle (x,y,z)=((x,y),z)}$

Korzystając z definicji pary Kuratowskiego, trójka wyglądałaby wówczas tak:

${\displaystyle (x,y,z)={\Bigl \{}{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\}{\Bigr \}},{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\},z{\Bigr \}}{\Bigr \}}}$

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną, dla każdego ${\displaystyle n\geq 3}$^[1][2][3][4].

Minusem zagnieżdżeń par Kuratowskiego jest to. że w ostatecznej formule elementy dublują się (np. x występuje tam czterokrotnie więc przy podstawianiu konieczne będzie jego czterokrotne przepisanie), a ich liczba rośnie wykładniczo wraz ${\displaystyle n}$.

Za pomocą zbioru par

Można zdefiniować trójkę, numerując każdy element bezpośrednio, na podobnej zasadzie jak w parze Hausdorfa:

${\displaystyle (x,y,z)={\Bigl \{}(1,x),(2,y),(3,z){\Bigr \}}}$

Należy zwrócić uwagę, że pary nie można zastąpić zwykłym zbiorem, ponieważ pojawiła by się niejednoznaczność, np. dla ${\displaystyle (3,1,2)=\{\{1,3\},\{2,1\},\{3,2\}\}=\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}=(2,3,1)}$.

Korzystając z definicji pary Hausdorffa, trójka wyglądała by wówczas tak:

${\displaystyle (x,y,z)={\Bigl \{}\{\{1\},\{2,x\}\},\{\{1,2\},\{2,y\}\},\{\{1,3\},\{2,z\}\}{\Bigr \}}}$

W takiej postaci, każdy element trójki występuje dokładnie jeden raz w ostatecznej formule.

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną, dla każdego ${\displaystyle n\geq 3}$:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})={\Bigl \{}(1,x_{1}),(2,x_{2}),...,(n,x_{n}){\Bigr \}}}$

Ta definicja bazuje na tej samej idei co definicja ciągu i jest prawidłowa również dla ${\displaystyle n=\infty }$.

Własności i zastosowanie

Można udowodnić twierdzenie stwierdzające, że ${\displaystyle (a,b,c)=(d,e,f)\Leftrightarrow (a=d\wedge b=e\wedge c=f)}$^[1][2][3].

Trójki uporządkowane stosowane są np. do zapisu współrzędnych punktów w przestrzeniach trójwymiarowych^[5].

Przypisy

1. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 328: Trójka uporządkowana.
2. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2015, ISBN 978-83-01-15232-1, s. 6-8
3. Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14547-7, s. 22
4. Antoni Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo Dla Szkoły, Wilkowice 2004, ISBN 83-88396-42-0, s. 32
5. Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14294-0, s. 71