Reguła łańcuchowa

Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennej

Niech ${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

• ${\displaystyle f}$ ma w punkcie ${\displaystyle x}$ pochodną ${\displaystyle f'(x)\;{}}$ oraz
• ${\displaystyle g}$ ma w punkcie ${\displaystyle y=f(x)}$ pochodną ${\displaystyle g'(y),}$

to funkcja złożona ${\displaystyle g\circ f}$ ma w punkcie ${\displaystyle x}$ pochodną równą ${\displaystyle g'(f(x))\cdot f'(x).}$

Innymi słowy:

${\displaystyle (f\circ g)'=(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)=(f'\circ g)(x)\cdot g'(x).}$

Złożenie wielu funkcji

Jeśli funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ jest zdefiniowana jako

${\displaystyle f(x)=(f_{1}\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})(x),}$

to jej pochodna ${\displaystyle f'}$ ma następującą postać:

${\displaystyle f'(x)=(f_{1}'\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})(x)\cdot (f_{2}'\circ f_{3}\circ \ldots \circ f_{n})(x)\cdot \ldots \cdot f_{n}'(x)=\prod \limits _{i=1}^{n}(f_{i}^{'}\circ f_{i+1}\circ \ldots \circ f_{n})(x).}$

Notacja Leibniza

W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli ${\displaystyle y=f(g(x)),}$ to wprowadzając pomocniczą zmienną ${\displaystyle t}$ na oznaczenie ${\displaystyle g(x)}$ mamy ${\displaystyle y=f(t)}$ i wówczas:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dt}{dx}}\cdot {\frac {dy}{dt}}.}$

Przykłady

Przykład 1

${\displaystyle (\cos x^{3})'=(-\sin x^{3})\cdot (x^{3})'=(-\sin x^{3})\cdot (3x^{2})=-3x^{2}\sin x^{3}.}$

Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną „cosinusa” jest „minus sinus” i stąd czynnik ${\displaystyle -\sin x^{3};}$ jednak argument cosinusa jest funkcją ${\displaystyle x^{3},}$ zatem wynik cząstkowy ${\displaystyle -\sin x^{3}}$ mnożymy przez pochodną tej funkcji, czyli ${\displaystyle 3x^{2}.}$

Przykład 2

${\displaystyle ((\sin x^{3})^{2})'=2(\sin x^{3})\cdot (\sin x^{3})'=2(\sin x^{3})\cdot (\cos x^{3})\cdot (x^{3})'}$${\displaystyle =2(\sin x^{3})\cdot (\cos x^{3})\cdot 3x^{2}=6x^{2}\cos x^{3}\sin x^{3}}$

Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest „podnoszenie zmiennej do kwadratu”. Jej pochodna to „dwa razy zmienna” i stąd ${\displaystyle 2\sin x^{3}.}$ Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną: ${\displaystyle (\sin x^{3})'.}$ Tę obliczamy tak: pochodną „sinusa” jest „cosinus” – stąd ${\displaystyle (\cos x^{3});}$ jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną ${\displaystyle (x^{3})'.}$

Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.

Przykład 3

Przykład specjalny, pochodna funkcji ${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$ Zauważmy, że:

${\displaystyle x^{x}=e^{x\ln x},}$

skąd

${\displaystyle (x^{x})'=(e^{x\ln x})'=(e^{x\ln x})\cdot (x\ln x)'=(e^{x\ln x})\cdot (\ln x+{\frac {x}{x}})=x^{x}(\ln x+1).}$

Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennych

Niech ${\displaystyle f,g,h\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

• ${\displaystyle g,h}$ mają w punkcie ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ pochodne cząstkowe, oraz
• ${\displaystyle f(u,v)}$ ma w punkcie ${\displaystyle (u_{0},v_{0})}$ pochodne cząstkowe, gdzie ${\displaystyle u=g(x_{0},y_{0}),v=h(x_{0},y_{0})}$

to funkcja złożona ${\displaystyle F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))}$ ma w punkcie ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ pochodne cząstkowe równe^[1]

${\displaystyle F'_{x}(x_{0},y_{0})=f'_{u}(u_{0},v_{0})g'_{x}(x_{0},y_{0})+f'_{v}(u_{0},v_{0})h'_{x}(x_{0},y_{0}),}$

${\displaystyle F'_{y}(x_{0},y_{0})=f'_{u}(u_{0},v_{0})g'_{y}(x_{0},y_{0})+f'_{v}(u_{0},v_{0})h'_{y}(x_{0},y_{0}).}$

Uogólnienia

Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ dla pewnych ${\displaystyle n,m}$ naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:

Niech ${\displaystyle X,\ Y,\ Z}$ będą przestrzeniami unormowanymi, ${\displaystyle D\subseteq X,\ E\subseteq Y}$ będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje ${\displaystyle f\colon D\to Y,g\colon E\to Z,}$ że ${\displaystyle f(D)\subseteq E.}$ Jeśli ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in D,}$ to złożenie ${\displaystyle g\circ f}$ jest różniczkowalne w punkcie ${\displaystyle f(x_{0})}$ oraz

${\displaystyle d(g\circ f)(x_{0})=dg(f(x_{0}))\circ df(x_{0}).}$

Przypisy

1. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Cz. 2. Wydawnictwo Naukowe PWN. Brak numerów stron w książce

Kontrola autorytatywna (wyrażenie algebraiczne):

• GND: 4163699-5

Encyklopedie internetowe:

• Britannica: topic/chain-rule