Macierz Hessego

Hesjan, macierz Hessego – macierz (kwadratowa) drugich pochodnych cząstkowych funkcji o wartościach rzeczywistych dwukrotnie różniczkowalnej w pewnym punkcie dziedziny. Czasem pod pojęciem hesjanu rozumie się wyznacznik macierzy Hessego, będący formą kwadratową przyrostów zmiennych^[1]. Jest on używany przy znajdowaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych.

Nazwę hesjanu wprowadził James Joseph Sylvester dla upamiętnienia niemieckiego matematyka Ottona Hessego (1811–1874)^[2].

Definicja

Niech ${\displaystyle D}$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ będzie dwukrotnie różniczkowalna w ${\displaystyle x_{0}\in D.}$ Macierzą Hessego funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ nazywamy macierz

${\displaystyle H(x_{0}):={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}(x_{0})\\[1em]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}(x_{0})\\[.5em]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[.5em]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(x_{0})\end{bmatrix}}.}$

Zobacz też

• gradient
• hesjan obrzeżony
• jakobian

Przypisy

1. hesjan, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-02-18] .
2. Jeff Miller, Hessian [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18].

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hessian, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].