Słaba pochodna

Słaba pochodna – rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Ustalenia wstępne

Niech ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{N}}$ będzie obszarem oraz niech ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w ${\displaystyle U}$ ze zwartym nośnikiem, zawartym w ${\displaystyle U.}$ Ponadto, niech ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(U).}$

Jeśli ${\displaystyle u}$ jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły w ${\displaystyle U,}$ to stosując wzór na całkowanie przez części, można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to, że funkcją ${\displaystyle \phi }$ ma zwarty nośnik, tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):

${\displaystyle \int \limits _{U}u{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}dx=-\int \limits _{U}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\phi dx}$

dla ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant N.}$

Ogólniej, jeśli ${\displaystyle u}$ jest funkcją ${\displaystyle k}$-krotnie różniczkowalną w sposób ciągły w ${\displaystyle U,}$ a ${\displaystyle \alpha }$ jest wielowskaźnikiem, to

${\displaystyle \int \limits _{U}uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{U}D^{\alpha }u\phi dx.}$

W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji ${\displaystyle u}$. Powstaje wówczas pytanie, czy istnieje funkcja ${\displaystyle v,}$ dla której zastąpienie ${\displaystyle D^{\alpha }u=v}$ w powyższym wzorze daje tożsamość prawdziwą dla wszystkich ${\displaystyle \phi }$.

Definicja

Niech funkcje ${\displaystyle u,v}$ będą lokalnie całkowalne w zbiorze ${\displaystyle U}$^[1] oraz niech ${\displaystyle \alpha }$ będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja ${\displaystyle v}$ jest ${\displaystyle \alpha }$-tą słabą pochodną funkcji ${\displaystyle u}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \int \limits _{U}uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{U}v\phi dx}$

dla każdej funkcji ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(U).}$ Jeśli ${\displaystyle v}$ jest ${\displaystyle \alpha }$-tą słabą pochodną funkcji ${\displaystyle u,}$ to zapisujemy to

${\displaystyle v=D^{\alpha }u.}$

Uwaga

• Jeśli dwie funkcje ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ spełniają powyższy warunek, to zachodzi równość ${\displaystyle v_{1}=v_{2}}$ prawie wszędzie w ${\displaystyle U}$. Innymi słowy, jeśli słaba pochodna istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie.

Przykład

Funkcja ${\displaystyle f\colon (-1,1)\to [0,1]}$ dana wzorem

${\displaystyle f(x)=|x|}$

nie jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle x_{0}=0}$, jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.

Zobacz też

• podróżniczka
• przestrzeń Sobolewa

Przypisy

1. Tzn. są elementami przestrzeni ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}(U),}$ gdzie dla ustalonego ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ zbiór ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(U)=\{f\in L^{p}(V)\colon \;\mathrm {cl} V\subseteq U,\,\mathrm {cl} V{\text{ - zwarty}}\}.}$