Ștefănescu urodził się w Bukareszcie i swoją przygodę z piłką rozpoczął w 1965 w miejscowej Steaue Bukareszt. Wraz z zespołem Wojskowych dwukrotnie zdobył Puchar Rumunii w latach 1970 i 1971. Do 1973 wystąpił dla Steauy w 77 spotkaniach i strzelił 9 bramek[2].
W 1973 podpisał kontrakt z zespołem Universitatea Craiova. W klubie tym trzy razy wygrał Liga I w sezonach 1973/1974, 1979/1980 i 1980/1981. Zdobył także z tym zespołem 4 razy Puchar Rumunii w latach 1977, 1978, 1981 i 1983. Osiągnął także półfinał Pucharu UEFA w sezonie 1982/1983. W 1983 został nominowany do nagrody Złotej Piłki, zajął w plebiscycie 23. miejsce[3]. W sumie w zespole Universitatea grał przez 13 lat i w 378 spotkaniach strzelił 10 bramek[4].
W 1986 przeszedł do zespołu FC Brașov, gdzie pełnił także funkcję grającego trenera. W zespole tym wystąpił w 35 spotkaniach[2]. W 1988 zakończył karierę piłkarską. Ștefănescu rozegrał 490 spotkań w Liga I, co jest rekordem tych rozgrywek[5].
Po raz ostatni w koszulce reprezentacji Rumunii wystąpił 13 listopada 1985 w meczu przeciwko reprezentacji Turcji, zakończonym zwycięstwem Rumunów 3:1. Łącznie w latach 1977–1985 wystąpił w reprezentacji w 64 spotkaniach[6].
Karierę trenerską rozpoczął w 1986 jako grający trener w zespole FC Brașov. Był nim do 1988, a do 1989 tylko trenerem. W 1990 przez kilka miesięcy był trenerem FC Steaua Bukareszt. Następnie do 1991 pracował z reprezentacją Rumunii do lat 21.
W tym samym roku zasiadł na ławce trenerskiej drużyny Al-Jaish Damaszek. Poprowadził drużynę do zdobycia Pucharu AFC oraz Pucharu Syrii w 2004. Od 2006 został trenerem klubu, w którym jako piłkarz osiągnął najwięcej, czyli FC Universitatea Craiova. Pomógł drużynie w awansie do Ligi I.
Costică Ștefănescu popełnił samobójstwo. 62-latek wyskoczył z okna na piątym piętrze szpitala w Bukareszcie. Costică od dłuższego czasu był chory na raka płuc, a przez ostatnie dni życia ważył jedynie 35 kilogramów i był dokarmiany dożylnie[7].
