Baza (przestrzeń liniowa)

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych[1].

Definicja

Niech będzie przestrzenią wektorową. Zbiór wektorów nazywany jest bazą przestrzeni gdy

Twierdzenie o warunkach równoważnych na bazę przestrzeni wektorowej

Niech będzie przestrzenią wektorową. Niech wektory należą do tej przestrzeni.

Następujące warunki są równoważne:

  1. to baza przestrzeni
  2. ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów
  3. to minimalny układ wektorów generujących
  4. to maksymalny układ liniowo niezależny[4].

Dowód[5]

Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że z warunku 1 wynika 2, z 2 wynika 3, z 3 wynika 4 i z 4 wynika 1.

1 ⇒ 2

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 1 i postawmy hipotezę, że przedstawienie pewnego wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazy nie musi być jednoznaczne. Zatem istnieje taki że:

Zatem odejmując powyższe równania stronami i grupując współczynniki, korzystając z własności przestrzeni wektorowej, otrzymamy, że:

Stąd jasno wynika, że (ponieważ układ jest liniowo niezależny z definicji bazy), co doprowadza do sprzeczności.

2 ⇒ 3

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 2 i postawmy hipotezę, że istnieje mniejszy układ wektorów, który generuje przestrzeń i oznaczmy go:

Skoro jest to układ generujący całą przestrzeń, to dowolny wektor tej przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazy. W szczególności:

Możemy jednak również wektor zapisać jako:

Zauważmy jednak, że Zatem wektor został przedstawiony na 2 sposoby jako kombinacja wektorów co stoi w sprzeczności z jednoznacznością przedstawienia wektora

3 ⇒ 4

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 3 i postawmy hipotezę, że układ jest liniowo zależny.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że

Weźmy dowolny wektor Wtedy:

Zatem otrzymaliśmy mniejszy układ generujący od co jest sprzeczne z 3. Stąd wynika, że minimalny układ generujący przestrzeń jest liniowo niezależny. Trzeba jeszcze wykazać jego maksymalność.

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Postawmy hipotezę, że istnieje większy układ liniowo niezależny. Ustalmy, że układ jest liniowo niezależny. Ponieważ układ generuje całą przestrzeń oraz to:

Stąd wynika, że:

a to jest sprzeczne z liniową niezależnością układu

4 ⇒ 1

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 4 i postawmy hipotezę, że układ nie generuje przestrzeni wektorowej

Zatem istnieje taki wektor który nie jest kombinacją liniową wektorów wspomnianego układu.

Rozważmy przypadek:

Gdyby to byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów, co jest sprzecznością z hipotezą.

Gdyby to równanie uprościłoby się do postaci

co z liniowej niezależności wektorów spowoduje, że a ponieważ to układ byłby liniowo niezależny, co jest sprzeczne z 4.

Definicja ogólna

Baza przestrzeni to maksymalny, liniowo niezależny, podzbiór wektorów tej przestrzeni, tzn. jeśli nie można do niego dołączyć żadnego wektora przestrzeni w taki sposób, aby otrzymany zbiór był liniowo niezależny[6][7][8].

Przykłady

  • Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.
  • Dany jest zbiór wektorów w przestrzeni euklidesowej Wektor można przedstawić jako:
Wynika stąd, że nie jest bazą przestrzeni
Z drugiej strony, niech i niech będzie dowolnym wektorem Szukając przedstawienia wektora jako kombinacji liniowej wektorów zbioru mamy:
skąd i
Zatem przedstawienie wektora jako kombinacji liniowej elementów zbioru jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór jest bazą przestrzeni
  • Niech oznacza przestrzeń liniową złożoną ze wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych, których co najwyżej skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Wówczas zbiór jest bazą przestrzeni przy czym jest wektorem, który na -tej współrzędnej przyjmuje wartość 1 oraz 0 na pozostałych.

Współrzędne wektora w bazie. Funkcjonały stowarzyszone z bazą

Niech będzie bazą przestrzeni liniowej Ponieważ każdy element może być przedstawiony jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów bazy

gdzie:

oraz więc dla każdego odwzorowanie
– współczynnik stojący przy w zapisie jako kombinacji liniowej elementów z

jest liniowe (formalnie, gdy nie pojawia się w zapisie). W szczególności, odwzorowania są elementami przestrzeni sprzężonej i nazywane są funkcjonałami stowarzyszonymi z bazą Funkcjonały te tworzą bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończeniewymiarowa, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem skończonym.

Przykład

Współrzędnymi wektora w bazie przestrzeni są liczby oraz

Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach Banacha

Niech będzie przestrzenią Banacha oraz niech będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą ciągłe i tworzą bazę przestrzeni Gdy jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z jest ciągłych.

Dowód. Niech będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha Wówczas zbiór też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami i różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą – bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu z Z zupełności przestrzeni wynika, że suma szeregu
należy do Niech będzie ciągiem sum częściowych szeregu tj.
Z ciągłości wynika, że
co prowadzi do sprzeczności bo ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie tj. zbiór jest skończony. □

Istnienie bazy

Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.

Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.

Andreas Blass udowodnił w 1984[9], że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Dowód istnienia bazy

Nietrudno zauważyć, że liniowo niezależny zbiór jest bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy dodanie do zbioru dowolnego nowego elementu powoduje utratę liniowej niezależności. A zatem baza to element maksymalny rodziny

uporządkowanej przez inkluzję. Użyjemy więc Lematu Kuratowskiego-Zorna, aby wykazać istnienie elementu maksymalnego zbioru W tym celu wystarczy stwierdzić, że każdy łańcuch jest w ograniczony z góry. Niech więc będzie łańcuchem w i niech Pokażemy, że zbiór jest liniowo niezależny.

Istotnie, przypuśćmy, że gdzie Skoro wektory należą do łańcucha to każdy z nich należy do pewnego składnika. Stąd wynika, że dla pewnych Rodzina zbiorów jest skończona i liniowo uporządkowana przez inkluzję, ma więc element największy. To znaczy, że dla pewnego mamy a przecież zbiór jest liniowo niezależny. Stąd kombinacja liniowa musi być trywialna i mamy

Ponieważ jest liniowo niezależny, więc a przy tym oczywiście zawiera wszystkie elementy jest więc ograniczeniem górnym naszego łańcucha w zbiorze Spełnione jest więc założenie Lematu Kuratowskiego-Zorna i musi istnieć element maksymalny.

Wymiar przestrzeni liniowej

H. Löwig jako pierwszy udowodnił, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne[10] (krótszy dowód został podany przez H.E. Laceya[11]). Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum[12]

Przestrzenie euklidesowe

Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej baza złożona z wektorów nazywana jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

Orientacja bazy

Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.

Zobacz też

Przypisy

  1. baza Hamela, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-12-03].
  2. baza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].
  3. D. Farenick, Algebras of Linear Transformations, Springer 2001, s. 2.
  4. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 62, Twierdzenie 4.4.
  5. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7, s. 62–63, Twierdzenie 4.4 – dowód.
  6. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7, s. 62, Definicja 4.5.
  7. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 94, Definicja 6.7.
  8. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, s. 65–66, Definicja 5.1.
  9. A. Blass, Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31-33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
  10. H. Löwig, Über die Dimension linearen Räume, Studia Mathematica, 5 (1934), 18-23.
  11. H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.
  12. G.W. Mackey, On infinite-dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 57 (1945), s. 155–207.

Linki zewnętrzne

Read other articles:

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (مارس 2020) قلعة سانت فيليبسمعلومات عامةنوع المبنى قلعة المكان Cala de Sant Esteve (en) المنطقة الإدارية فياكارلوس البلد  إسبانيا أبرز الأحداثأحداث مهمة siège du fort Saint Philippe (fr) حصار

 

Artikel ini bukan mengenai Masjid Sentral Izhevsk. Masjid Katedral IzhevskИже́вская соборная ме́че́тьAgamaAfiliasi agamaIslam – SunniProvinsi UdmurtiaLokasiLokasiIzhevskNegara RusiaKoordinat56°48′15.5″N 53°9′54.7″E / 56.804306°N 53.165194°E / 56.804306; 53.165194Koordinat: 56°48′15.5″N 53°9′54.7″E / 56.804306°N 53.165194°E / 56.804306; 53.165194ArsitekturJenisMasjidGaya arsitekturTatarDidir...

 

Comunidades de villa y tierra de la Extremadura castellana. La Comunidad de villa y tierra de Osma fue una de las comunidad de villa y tierra de la Extremadura castellana, que tuvo vigencia desde el siglo XII hasta el siglo XIX. Con el nombre de Partido de Osma formaba parte de la Intendencia de Soria,[1]​ en la región española de Castilla la Vieja, hoy comunidad autónomas de Castilla y León. Toponimia e historia La capitalidad estuvo en la ciudad de Osma. Los orígenes de...

Konrad AdenauerKanselir JermanMasa jabatan15 September 1949 – 16 Oktober 1963PresidenTheodor Heuss (1949-1959)Heinrich Lübke (1959-1969)WakilFranz Blücher (1949-1957)Ludwig Erhard (1957-1963)PendahuluDia sendiriPendudukan militer Lutz Graf Schwerin von Krosigk (1945)PenggantiLudwig ErhardMenteri Luar Negeri JermanMasa jabatan15 Maret 1951 – 6 Juni 1955Kanselirdia sendiriPendahuluCount Lutz Schwerin von Krosigk (1945)PenggantiHeinrich von BrentanoWali kota CologneMasa j...

 

Series of Indian semi-high speed EMU train services This article is about Vande Bharat Express services offered by Indian Railways. For the EMU trainset, see Vande Bharat (trainset). Vande Bharat ExpressVande Bharat Express trains running in Blue-White and Saffron-Grey LiveriesOverviewService typeInter-city semi-high-speed railStatusActivePredecessorShatabdi Express, Jan Shatabdi Express,MEMUFirst service15 February 2019; 4 years ago (2019-02-15)Websiteindianrail.gov.inRoute...

 

You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Hebrew. Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Do not translate text that appears unreliable or low-quality. If possibl...

Public high school in the United StatesScarsdale High SchoolScarsdale High School from the Brewster Road entranceLocation1057 Post RoadScarsdale, New York 10583United StatesCoordinates40°59′41″N 73°47′35″W / 40.99472°N 73.79306°W / 40.99472; -73.79306InformationTypePublic high schoolMottoNon Sibi (Not for One's Self)Established1917School districtScarsdale Union Free School DistrictPrincipalKenneth BonamoGrades9–12Number of students1,530 (2018-19)[1 ...

 

This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: History of Ritchie Valens – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2016) (Learn how and when to remove this template message) 1981 compilation album by Ritchie ValensHistory of Ritchie ValensCompilation album by Ritchie ValensReleased1981Recorded1958-1959...

 

The 1992 AFL draft is the annual draft of talented players by Australian rules football teams that participate in the main competition of that sport, the Australian Football League. It consisted of the main national draft, the pre-season draft and the trade period.[1] In 1992 there were 124 picks to be drafted between 15 teams in the main national draft. 1992 mid-season draft There was a mid-year draft held during the 1992 season. Players recruited in this draft were able to take thei...

Municipality in Brazil Location of Medina in the state of Minas Gerais Medina is a municipality in the northeast of the Brazilian state of Minas Gerais. Its population in 2020 was 20,759 inhabitants in a total area of 1,440 km2.[1] Medina belongs to the Pedra Azul statistical microregion. The elevation of the municipal seat is 587 meters. It became a municipality in 1938. This municipality is located on the important BR-116 Rio-Bahia highway. It is 65 km. south of the bounda...

 

Universitas Nusa PutraNusa Putra UniversityMotoAmor Deus, Parentium, ConcervisJenisPerguruan Tinggi SwastaDidirikan2 Februari 2018; 5 tahun lalu (2018-02-02)AfiliasiUmumRektorDr. Kurniawan, ST.,M.Si.,MMAlamatJalan Raya Cibolang Kaler No.21, Kec. Cisaat Kabupaten Sukabumi, Jawa Barat, Situs webwww.nusaputra.ac.id Universitas Nusa Putra atau Nusa Putra University (NPU) adalah universitas swasta yang berlokasi di Sukabumi Jawa Barat di bawah naungan Yayasan Perguruan Nusa Putra Sukabumi. ...

 

Не следует путать с Барристер. Эта статья или раздел нуждается в переработке.Излишние ссылки на неавторитетные источники, возможно рекламные. Подробности в обсуждении.Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Бариста за работой Бари́ста&#...

福元 淳史 ソフトバンク時代(2013年5月20日、福岡ヤフオク!ドーム)基本情報国籍 日本出身地 千葉県茂原市生年月日 (1983-08-24) 1983年8月24日(40歳)身長体重 176 cm75 kg選手情報投球・打席 右投左打ポジション 内野手、外野手プロ入り 2008年 育成選手ドラフト4位初出場 2012年8月15日最終出場 2013年7月17日経歴(括弧内はプロチーム在籍年度) 船橋市立船橋高等学校 中央大学...

 

Saudi Telecom Company S.A.مجموعة الاتصالات السعوديةJenisPerusahaan umumIndustriTelekomunikasiDidirikan1998KantorpusatLuksemburgTokohkunciEng. AbdulAziz AlSagir (Chairman) Dr. Khaled Al Ghoneim (CEO)ProdukTelepon rumah, telepon seluler, layanan internet dan televisi digitalPendapatan US$ 15.0  miliar (2011)[1]Laba operasi US$ 3.0  miliar (2011)[1]Laba bersih US$ 2.0  miliar (2011)[1]Situs webhttp://www.stc.com.sa/ Saudi Telecom Grou...

 

Prince of Lippe WoldemarPrince of LippeReign8 December 1875 – 20 March 1895PredecessorLeopold IIISuccessorAlexanderBorn(1824-04-18)18 April 1824DetmoldDied20 March 1895(1895-03-20) (aged 70)DetmoldSpouse Princess Sophie of Baden ​ ​(m. 1858)​HouseLippeFatherLeopold IIMotherPrincess Emilie of Schwarzburg-Sondershausen Woldemar of Lippe (Günther Friedrich Woldemar; 18 April 1824 – 20 March 1895) was the sovereign of the Principality of Lippe, reignin...

The Loyal Traitor First editionAuthorSylvia HaymonIllustratorDerek CollardCountryUnited KingdomLanguageEnglishGenreChildren's literature, FictionPublisherChatto & WindusPublication date1965Media typePrint with linocut illustrations (Hardcover) The Loyal Traitor[1] is a children's book written in 1965 by Sylvia Haymon[2] and illustrated by Derek Collard. The story is set during the reign of King Edward VI and centered on the adventures of fictional character Tom Redman...

 

2016 South Korean television series This article is about the South Korean television series. For the type of contract, see Marriage contract. Marriage ContractPromotional posterGenreMelodramaWritten byJung Yoo-kyungDirected byKim Jin-minStarringLee Seo-jinUeeKim Yong-geonPark Jung-sooLee Hwi-hyangKim Young-pilShin Rin-ahKim Kwang-kyuKim Yoo-riCountry of originSouth KoreaOriginal languageKoreanNo. of episodes16ProductionProducerKim Hee-yeolRunning time65 minutesProduction companyPan Entertain...

 

Maja(66 Maja) Scoperta9 aprile 1861 ScopritoreHorace Tuttle ClassificazioneFascia principale Classe spettraleC DesignazionialternativeA902 UF, A906 QD,1947 FO, 1974 KR,1992 OX10 Parametri orbitali(all'epoca 18 agosto 2005 (JD 2453600,5)) Semiasse maggiore395,738 Gm (2,645 AU) Perielio327,102 Gm (2,187 AU) Afelio464,374 Gm (3,104 AU) Periodo orbitale1571,496 g (4,303 a) Velocità orbitale18,17 km/s (media) Inclinazionesull'eclittica3,048° Eccentricità0,173 Longitudine delnodo ascendente7,674...

Human settlement in EnglandWayfordWayford Manor HouseWayfordLocation within SomersetPopulation114 (2011)[1]OS grid referenceST405065DistrictSouth SomersetShire countySomersetRegionSouth WestCountryEnglandSovereign stateUnited KingdomPost townCREWKERNEPostcode districtTA18Dialling code01460PoliceAvon and SomersetFireDevon and SomersetAmbulanceSouth Western UK ParliamentYeovil List of places UK England Somerset 50°51′18″N 2°50′48″W࿯...

 

Berpikir kritis adalah cara berpikir manusia untuk merespon seseorang[1] dengan menganalisis fakta untuk membentuk penilaian.[2] Subjeknya kompleks, dan ada beberapa definisi yang berbeda mengenai konsep ini, yang umumnya mencakup analisis rasional, skeptis, tidak bias, atau evaluasi bukti faktual. Pada dasarnya, bentuk berpikir kritis adalah pemikiran mandiri, pendisiplinan diri, pemantauan diri, dan koreksi diri.[3] Berpikir kritis mengandaikan persetujuan terhadap s...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!