Bjørnstad er utdannet cand.mag. med studier i statsvitenskap, kommunalforvaltning og historie. Han har arbeidet i Amnesty International (1984–85) og i LO (1985–93), blant annet to år som LO-lederens personlige sekretær. Han har siden 2009 vært medlem av Europabevegelsens sentralstyre.