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命数法 (めいすうほう、英語 : Numeral system , または system of numeration)とは、数 を名付ける法、即ち与えられた数を表わすための、一連の方式・規則・対応である。
概要
命数法とは、数値 を表すときの数詞 の体系 [1] であり、言語 により異なる。例えば、1桁の数値では「四 の次」を表す数詞(5)を、日本語 では「五 」、英語 では"five"(ファイブ)、ドイツ語 では"fünf"、ラテン 語では"quinque"という。同じく、十進数 における「十の四乗 」を表す数(10,000)を、日本語 では「一万 」、英語 では"ten thousand"(テン・サウザンド 、十千)と呼ぶ。これらの組み合わせにより任意の数値を表すことができる。言語により同じ数値命数法のうち、数字 を用いて数を表す方法を記数法 という。
命数には、一般に「一」や「三」など自然数 を表す数詞、「零 」など無 を表す数詞、「百」や「千」など何かの冪乗 を表す数詞とがある。
位取りは十進法 が圧倒的に多いが、十進法に囚われる必要は無く、十二進法 や二十進法 も散見される。十を超える数で、十進法から独立している数詞として、十二 を意味する"dozen"(日本語ではダース )や"打"(→zh:打 )、百四十四 を意味する"gross"(グロス)、千七百二十八 を意味する"great gross"、二十 を意味する"score"(スコア )や"vingt"(フランス語)や"廿"や"kal"(マヤ数詞 、以下同じ)、四百 を意味する"bak"、八千 を意味する"pic"などがある。
以下の記述においては、まず大数の命数法と小数 の命数法に大別して解説する。
大数の命数法
万進法系の命数法
中国 に由来する漢数字 では、以下の数詞で大数を示す。
一 、十 、百 、千 、万 、億 、兆 、京 、…
中国の算術書である後漢 の徐岳『数術記遺 (中国語版 ) 』や北周 の甄鸞『五経算術 (中国語版 ) 』に、大数の単位が記されているが、当時は載までであり、また𥝱は本来は秭であり、それが日本の『塵劫記 』で字形が変化したものである。これらの文献によると、万より大きい数詞の示す値には3種類あり、統一されていなかった。下数、中数、上数である[2] 。
当初は万(104 )を区切りとして十万(105 )、百万(106 )、千万(107 )まで表していた。これとは別に、万から1桁ごとに億(105 )、兆(106 )、と名付けていた。これを下数 (かすう)と呼ぶ。
漢 代あたりから、上数 (じょうすう)が文献に記載され始めた。数詞が表す位の2乗 が次の数詞となる。万万が億(108 )であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆(1016 )、兆兆が京(1032 )となる。実際に使われたことはないようであり、数学 書では用いられていない。
その後、千万の次を億とし、十億(109 )、百億(1010 )と続けていく方法が考案された。これを中数 (ちゅうすう)という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万(108 )倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億(1011 )、万億(1012 )、十万億(1013 )と続き、億の万万倍を兆(1016 )、兆の万万倍を京(1024 )とする。これを万万進 という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆(1012 )とする万進 (まんしん、万進法(まんしんほう))に移行した。
元の朱世傑による算学啓蒙で初めて、極以上の単位(そのうち恒河沙以上は仏教に由来する名称)が加わったが、当時不可思議の上は無量大数ではなく無量数であり、明の程大位による算法統宗でも同様であった。極以上の単位は基本的に中数(万進・万万進)のみで使われ、下数や上数で使われることはなかったが、ただ日本の『塵劫記』初版で極以下を下数としており、それによれば極は1015 ということになる。
日本では、1627年 (寛永 4年)の『塵劫記』の初版において初めて大きな数が登場するが[3] 、極以下が下数、恒河沙以上を万万進の中数(恒河沙=1023 、阿僧祇=1031 、那由他=1039 、不可思議=1047 )としていた。1631年 (寛永8年)の版では極以下が万進(恒河沙以上は万万進のまま)に改められ、それとともに算学啓蒙・算法統宗にあった不可思議の上の無量数も無量大数という名称として組み込まれた。そして1634年 (寛永11年)の版ではすべて万進に統一された。今日でも万進だけが使用されている。
読み方の例を以下に示す。
1 0000 : 一万 (いちまん)
983 6703 : 九百八十三万 六千七百三 (きゅうひゃくはちじゅうさんまん ろくせんななひゃくさん)
20 3652 1801 : 二十億 三千六百五十二万 千八百一 (にじゅうおく さんぜんろっぴゃくごじゅうにまん せんはっぴゃくいち)
アラビア数字が使われる場合は、英語のように3桁ごとにコンマが入れられる。アラビア数字と漢数字が同時に使われる場合は、1万以下の数字についてアラビア数字の書き方が使われる場合がある(例: 25,000,000を2,500万と表記する場合)。
大きな数字が漢字で表されるときは、ほとんどの場合でゼロが省かれる。例えば、4002はゼロを表す中国語での「四千零二」ではなく、四千二と表されることが多い。ただし、決算書を読み上げる場合、読まない桁は、「飛び」または「飛んで」で示される場合がある。例えば、通常の「よんせんに」の代わりに、「よんせんとびに」または「よんせんとんでに」のようにもなる。
中国では、近代まで万万進と万進が混用されたままであった。それに加えて、メートル法 の接頭語 のメガ (106 )に「兆」(下数における 106 )の字をあてたため、さらに混乱が生じた。今日では、「億」は中数の 108 、「兆」は下数の 106 の意味となっており、兆より億の方が大きくなっている。日本でいう兆(1012 )は「万億」といい、京以上については、例えば 1016 は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。台湾と朝鮮半島では植民地時代に、日本の命数法(万進)が導入されていたので、兆は 1012 であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。
ベトナムでは西洋式に3桁ずつ新しい名称が使われるが、106 を「triệu 」(兆)、109 を「tỷ 」(秭)と呼ぶ。これは下数にあたる。
『塵劫記』での命数は以下のようになっている[4] 。
位の大きなものの名称については版によって相違がある。併記した記数は万進による。
塵劫記(寛永11年版)での命数(日本の現行方式)
数詞
読み
数
10000m
一(いち)
十(じゅう)
百(ひゃく)
千(せん)
補足
一 100
十 101
百 102
千 103
万
まん
104
100001
一万 104
十万 105
百万 106
千万 107
億
おく
108
100002
一億 108
十億 109
百億 1010
千億 1011
兆
ちょう
1012
100003
一兆 1012
十兆 1013
百兆 1014
千兆 1015
京
けい
1016
100004
一京 1016
十京 1017
百京 1018
千京 1019
(きょう)
垓
がい
1020
100005
一垓 1020
十垓 1021
百垓 1022
千垓 1023
𥝱
じょ
1024
100006
一𥝱 1024
十𥝱 1025
百𥝱 1026
千𥝱 1027
秭 (し)
穣
じょう
1028
100007
一穣 1028
十穣 1029
百穣 1030
千穣 1031
溝
こう
1032
100008
一溝 1032
十溝 1033
百溝 1034
千溝 1035
澗
かん
1036
100009
一澗 1036
十澗 1037
百澗 1038
千澗 1039
正
せい
1040
1000010
一正 1040
十正 1041
百正 1042
千正 1043
載
さい
1044
1000011
一載 1044
十載 1045
百載 1046
千載 1047
極
ごく
1048
1000012
一極 1048
十極 1049
百極 1050
千極 1051
恒河沙
ごうがしゃ
1052
1000013
一恒河沙 1052
十恒河沙 1053
百恒河沙 1054
千恒河沙 1055
阿僧祇
あそうぎ
1056
1000014
一阿僧祇 1056
十阿僧祇 1057
百阿僧祇 1058
千阿僧祇 1059
那由他
なゆた
1060
1000015
一那由他 1060
十那由他 1061
百那由他 1062
千那由他 1063
不可思議
ふかしぎ
1064
1000016
一不可思議 1064
十不可思議 1065
百不可思議 1066
千不可思議 1067
無量大数
むりょうたいすう
1068
1000017
一無量大数 1068
十無量大数 1069
百無量大数 1070
千無量大数 1071
以下の表に各方式での大数の命数法を示す。
各方式での大数の命数法
名称
下数
中数(万進・日本の現行方式)
塵劫記寛永8年版
中数(万万進)
上数
十
101
101
101
101
101
百
102
102
102
102
102
千
103
103
103
103
103
万
104
104
104
104
104
億
105
108
108
108
108
兆
106
1012
1012
1016
1016
京
107
1016
1016
1024
1032
垓
108
1020
1020
1032
1064
秭(𥝱)
109
1024
1024
1040
10128
穣
1010
1028
1028
1048
10256
溝
1011
1032
1032
1056
10512
澗
1012
1036
1036
1064
101024
正
1013
1040
1040
1072
102048
載
1014
1044
1044
1080
104096
極
1015 (塵劫記初版)
1048
1048
1088
-
恒河沙
-
1052
1056
1096
-
阿僧祇
-
1056
1064
10104
-
那由他
-
1060
1072
10112
-
不可思議
-
1064
1080
10120
-
無量数(無量大数)
-
1068
1088
10128
-
なお、無量大数を「無量 」と「大数 」に分けて説明しているものもあるが、これは『塵劫記』で無量と大数の間に傷ができて間隔があき、別の数のように見える版があったためである。無量大数で一つの数とするのが普通である。
3文字以上の単位は、インドから由来したものが多い。恒河沙はもともと仏教の聖典で無限に大きな数を表すのに使われていた位で、गङ्गा(ガンジス川)から由来している。阿僧祇はअसंख्येय(不可算)から、那由他はनयुत/नयुतःから由来している。それより大きな数の単位は、仏教の単語が中国語に翻訳され、後に単位を与えられたものである。
千進法系の命数法
西洋の諸言語 の命数法 には、long scale (ロングスケール)とshort scale (ショートスケール)と呼ばれる2種類がある。これは漢字文化圏 でいう万万進 と万進 の関係に似たものである。万万進と万進の関係と同様に、一部の数詞においては、双方の命数法でそれぞれ異なる数が割り当てられている (「billion」「trillion」など)。long scaleやshort scaleは標準的な用語ではないが、意味するところが明確なので、百科事典や科学的な文章でしばしば使われる。
19世紀 から20世紀 の大部分では、イギリス では前者のみ、アメリカ では後者のみが使われていた。それ故、それぞれ「イギリス式」、「アメリカ式」とも呼ばれるが、今日ではイギリスでも後者が使われるため、「イギリス式」という表現は正確ではない。
歴史上フランス では双方共に用いられており、19世紀はじめには広範囲でshort scaleに移行した。アメリカはこれに従ったもので、long scaleを使用していた20世紀初頭のイギリスにおいてアメリカでは方式が違うことに注意を呼びかけている[5] 。しかし、現在ではフランスも他の英語圏 を除くヨーロッパ 諸国に合わせてlong scaleに落ちつき、それとは逆にイギリスではshort scaleに移行するという複雑な経緯を辿っている。
1948年 、国際度量衡総会 はlong scaleの普遍的な使用を提案し、short scaleを使っている国々にlong scaleに戻すよう呼びかけた。しかし、英語圏においては上述の通りアメリカを筆頭にイギリスが移行したこともあり、現在では一般的にshort scaleが使用されている(歴史 も参照)。
long scaleとshort scaleの比較
英語 の場合は、以下のようになる。千進(せんしん、千進法(せんしんほう))が使われる。
数
short scale
long scale
SI接頭語
呼び方
カタカナ表記
理由
呼び方
カタカナ表記
理由
100 (一 )
one
ワン
1
one
ワン
1
なし
103 (千 )
thousand
サウザンド
(103 )1
thousand
サウザンド
(106 )0.5
k(キロ )
106 (百万 )
million
ミリオン
(103 )1+1
million
ミリオン
(106 )1
M(メガ )
109 (十億 )
bi llion
ビリオン
(103 )1+2
thousand million (milliard)
サウザンド ミリオン (ミリアード)
(106 )1.5
G(ギガ )
1012 (一兆 )
tri llion
トリリオン
(103 )1+3
bi llion
ビリオン
(106 )2
T(テラ )
1015 (千兆)
quadr illion
クアドリリオン
(103 )1+4
thousand billion (billiard)
サウザンド ビリオン (ビリアード)
(106 )2.5
P(ペタ )
1018 (百京 )
quint illion
クインティリオン
(103 )1+5
tri llion
トリリオン
(106 )3
E(エクサ )
million は、イタリア語 で千を意味する “mille” に、拡大接尾辞 (他の語の後ろについて意味を誇張する)“-one” がついた “millione” (現代の正書法では milione)が語源である。
bi -(バイ)は2を、tri -(トライ)は3を、quadr -(クアドラ)は4を、quint -(クイント)は5を表すラテン語 に由来する倍数接頭辞 。
short scaleでは、1,000倍するごとに新しい名前がつく (千進(せんしん)、千進法(せんしんほう)、thousand millions = billion, thousand billions = trillion, ...)。
long scaleでは、1,000,000倍するごとに新しい名前がつく (百万進(ひゃくまんしん)、百万進法(ひゃくまんしんほう)、million millions = billion, million billions = trillion, ...)。
古語 に十億を表すmilliardがあるが、英語では使われることはない(言語 によっては使われる)。だが金融市場 においては、誤解を避けるために十億を "yard"(milliardに由来)と言うことがある。
より大きな数の表し方についてはNames of large numbers 、数の比較 を参照。
歴史
年代
出来事
1475年
ジャン・アダム が1012 (一兆)、1018 (百京)を表す言葉としてbymillion, trimillionを用いた。
1484年
フランス の数学者 ニコラ・シュケー (英語版 ) が著書『Triparty en la science des nombres』の中で、1012 (一兆)、1018 (百京)、1024 (一秭 )、1030 (百穣 )、1036 (一澗 )、1042 (百正 )、1048 (一極 )、1054 (百恒河沙 :万進法による)をそれぞれbyllion tryllion, quadrillion, quyllion, sixlion, septyllion, ottyllion, nonyllionと表した。この本は1870年代 に初めて発行されたものであったが、この大部分はエスティエンヌ・ド・ラ・ロッシュ (英語版 ) の著書『L'arismetique』(1520年 )からとったものであった。
1549年
ジャック・ペルチエ がmilliard (milliart) を "Million de Millions"(millionのmillion)すなわち1012 (一兆)として用いた。彼はこの用法をフランス人の学者ギヨーム・ビュデ (1467-1540年)によるものだとした。
17世紀
6桁(百万)ごとに名前の変わる伝統的な方式(後のlong scale)から、3桁(千)ごとに名前の変わる新しい方式(後のshort scale)が分かれ、フランスやイタリア でbillionを109 (十億)の意味で使う科学者が現れた。それでもthousand millionやmilliard(ペルチエの用語)を用いる方が多数派であった。こちらの用法がイギリスやドイツ その他ヨーロッパ 全域で採用され、Chuquetのlong scaleのbillion(一兆)が使われ続けることとなった。
18世紀 半ば
short scaleの意味でのbillionがアメリカのイギリス植民地 にもたらされる。
19世紀 はじめ
フランス が広くshort scaleに移行し、アメリカ合衆国 がそれに続き、学校でも教えられるようになった。19世紀のフランスの百科事典 の多くではlong scaleは省かれたり、「今やもう古い方式である」と書かれたりしていた。
1926年
H. W. Fowler の『Modern English Usage』に、「アメリカ(フランスに従った)では "billion" はイギリスと同じ意味ではないことを覚えておくべきだ。billionは我々(イギリス人)にとってはmillionの2乗すなわちmillion millions(一兆)を意味するものだが、アメリカ人にとってはthousandの3乗すなわちthousand millions(十億)を表す。これは我々がmilliardと呼んでいるものである。我々の意味におけるbillionが天文学者以外には使い勝手が悪いからといって従わないのは残念なことである」と記された。
1948年
国際度量衡総会 はlong scaleの普遍的な使用を提案し、short scaleを使っている国々にlong scaleに戻すよう呼びかけた。
1961年
Journal Officiel (フランスの官報)は、フランスで公式にlong scaleが用いられていることを確認した[6] 。
1974年
イギリス 首相ハロルド・ウィルソン は、これからは政府の統計でshort scaleを用いると述べた[7] 。20世紀 の最後の四半期には、他の多くの英語圏 の国々 もこれに続いてshort scaleに切り替えた。しかしながら、これらの全ての国において、わずかながらlong scaleの使用は続いており、また公式にshort scaleが使われていることも明確ではない。
1994年
イタリア 政府は公式にlong scaleが用いられていることを確認した[8] 。
現在の使用状況
各国の命数法 千進法 long scale 千進法 short scale 千進法両方 その他
short scaleを用いる国
英語圏
現在英語圏 の多くの国でshort scaleが用いられている。以下はその一部である。
英語圏以外
109 = milliard、1012 = trillion
109 = billion、1012 = trillion
ブラジル - ポルトガル語 を話すが、ポルトガルと異なり、109 はbilhão、1012 はtrilhãoといった言い方をする。
プエルトリコ - スペイン語 の話されるアメリカ領で、一般に経済・技術に関することではshort scaleが用いられる(109 はbillón、1012 はtrillón)。一方、プエルトリコ外のラテンアメリカの人に向けた刊行物ではlong scaleが用いられる。
ブルネイ
ミャンマー
アフガニスタン (109 はmilliardも行われる)
独自の名称
ギリシャ - 109 をdisekatommyrio(「二-百-万」の意)、1012 をtrisekatommyrio(「三-百-万」の意)という。
キプロス
long scaleを用いる国
英語圏と東欧を除く多くの大陸ヨーロッパの国々ではlong scaleを使う。
例
フランス語 ・デンマーク語 ・ノルウェー語 : milliard、ドイツ語 : Milliarde 、オランダ語 : miljard 、ハンガリー語 : milliárd 、スペイン語 : millardo (mil millones の方が頻繁に用いられる)、イタリア語 : miliardo 、ポーランド語 : miliard 、スウェーデン語 : miljard (milliard ということもある)、フィンランド語 : miljardi 、チェコ語 : miliarda 、スロベニア語 ・クロアチア語 ・セルビア語 : milijarda、アイスランド語 : milljarður - 皆109 を表す。
フランス語・デンマーク語・ノルウェー語: billion、ドイツ語 : Billion 、オランダ語 : biljoen 、ハンガリー語 : billió 、スペイン語 : billón 、ポーランド語・セルビア語: bilion、スウェーデン語 : biljon (billion ということもある)、フィンランド語 : biljoona 、クロアチア語 : bilijun 、ポルトガル語(ポルトガル) : bilião 、スロベニア語 : bilijon 、アイスランド語 : billjón - 皆1012 を表す。
用法
"thousand milliard" の使用
Milliardを用いるこれらの国々において "thousand milliard" という用語が時折使われるが、これは予算 についての文脈でのみである。「ドイツ の国債 が2004年 末の時点で約1418 milliardユーロ (1兆4180億ユーロ)であった」というように、milliardは予算の単位 としては主要なものとなっている。予算以外については、1012 はthousand milliardではなくbillionという。
イタリアでの用法
19世紀 にはshort scaleを用いていたが20世紀 になってlong scaleに戻したヨーロッパ の国は2つあるが、イタリア はその1つである(もう1つはフランス )。
イタリア語 では、bilioneという単語は公式には1012 を意味するが、口語では109 と1012 のいずれをも意味し得る。またtrilioneも、1012 と(まれに)1018 のいずれをも意味する。そのため、曖昧さを避けるために、こうした単語を使う人はほとんどいない。一般には1012 はmille miliardi (a thousand milliards)、1015 はun milione di miliardi、1018 はun miliardo di miliardi、1021 はmille miliardi di miliardiという方が多い。
英語圏での用法
アメリカでの用法
アメリカ合衆国 では、19世紀初頭から学校 でshort scaleが教えられてきた。そのため、専らshort scaleのみが用いられている。
他の国々
アメリカ以外の国では何世紀にもわたってlong scaleが用いられてきた。従って、long scaleの使用もいまだ続いており、そのためshort scaleの公式の立場 がはっきりしていない。
イギリスでの用法
イギリス英語 においてmilliardという用語は今や時代遅れであり(派生語のyardは使われる。#long scaleとshort scaleの比較 を参照)、現在では刊行物でも筆記物でもbillionが109 以外を意味することはない。イギリス政府もBBC も専らshort scaleを用いている。イギリス英語で1012 の意味でbillionを用いた場合、誤解される可能性が高い。
オーストラリアでの用法
オーストラリアでは、2つの物を同じmillionの単位で比較するときなど、109 をthousand millionと表すこともある。1999年 現在、オーストラリア政府の財務省はshort scaleが標準であるとは見なしていないが、時折short scaleを使っている[9] 。Australian Department of Finance and Administration(AusInfoとして知られる)は現在、short scaleを推奨しており、法的定義もshort scaleである。教育、放送局、文学においても、他の英語圏と同様にshort scaleを用いている。
インドでの用法
他の英語圏の国と同様、現在、インドもアメリカのshort scaleの影響を強く受けている。しかし経済関連のメディア以外ではまちまちであり、話者の教育環境や学歴によるため、イギリスの影響下であったこともあり、多くが伝統的なlong scaleを使い続けると思われる。また、日常生活では、現在でもインド独自の命数法 を用いている。(short scaleもlong scaleも用いない国 参照)
エスペラントでの用法
エスペラント の公式の単語であるbilionoやtriliono等の意味するところは曖昧であり、long scaleとshort scaleのどちらを支持するかを国家が推定するのを妨げることによって、国際的なエスペラントのコミュニケーションの本質は問題を複雑化させていた。
ただ、現在では非公式だが一般に用いられている -ilion- という接尾辞 (106×n ) を用いることで曖昧を避けようとする方向に向かっている。これは106 のべき乗 を表すために追加されたもので、例えばduiliono(duはエスペラントで「二」)は 106×2 = 1012 、triiliono(triはエスペラントで「三」)は 106×3 = 1018 を表す。
miliardoは明確に109 を表す単語であるが、最近ではこれを基にした-iliard-を非公式な接尾辞 (106×n+3 ) と見立ててduiliardo = 106×2+3 = 1015 、triliono = 106×3+3 = 1021 のように表すことが多い。つまり-ilion-の1000倍の数を表すのである。
これによって、mililiono = 106×1000 = 106000 やmililiardo = 106×1000+3 = 106003 等の大きな数も簡単に作れるようになった (mil = 1000)。
混乱回避措置
long scaleとshort scaleを使用している国では百万より大きい単位では同じ単語が異なる桁を示すなど表記の仕方が異なる。混乱を回避するために以下のような表示がされる[10] 。なお命数法の違いに加え、小数点や3桁を区切る記号をコンマ かピリオド(終止符 )かという小数点 の問題がある。
もっとも簡単な方法が全数を記述することである。
例)1,000,000,000,000 これはshort scaleでは1 trillion であるがlong scaleでは1 billion である。
ミリオン(百万)までは共通であるので百万以上の桁を数字で表示する[11] 。
例)12,345 million(ミリオン)
指数表記 で桁を表す。
1× 10 9 、1× 10 10 、1× 10 11 、1× 10 12 などで広く使われている。または一般的ではないがコンピューターで1e9、1e10、1e11、1e12と表記される。
SI接頭語 で表す。
SI接頭語は基本単位 に非依存の数値の桁のみを表すものでキロ (k, 103 = 千)、メガ (M, 106 = 百万)、ギガ (G, 109 = 十億)、テラ (T, 1012 = 兆)などである。これらは科学者・技術者の間で広く使われている。例)キロ グラム 、メガ ワット 、ギガ ヘルツ 、テラ バイト 。これらはコンピュータの普及により一般にも知られているが、1ギガドル といった表現は一般的ではない。なお日本では電力表示に億kW(キロワット)といった使われ方をする。1億kWは100ギガワット (GW)である。
インド
インドの命数法 は、古代インドから現代でもインド、パキスタン 、バングラデシュ 、ネパール 、ミャンマー などで使用されている。基本的には、西洋 で一般的な3桁ごとの位取りや、日本 や中国 などで一般的な4桁ごとの位取りではなく、インドにおいては2桁ごとの位取りに基づく。
この命数法による表記では、基本的に2桁ごと(下3桁のみ例外)の位取りに基づいて点を置く。例えば3カロール(3千万)ルピーと記する場合はRs. 30,000,000ではなく、Rs. 3,00,00,000とすることが多い。ハザール/サハストル(千)、ラーク (十万)、カロール (千万)で区切っている。
ラーク (lakh )、カロール (crore ) という単語は後述の仏典の華厳経 (八十華厳及び四十華厳)における洛叉 ・倶胝 に当たる。またインド英語 では今日でも頻繁に使われており、インドでの英字新聞等でも普通に使用される。なお、英語の綴りと実際の発音とは大きくかけ離れている場合が多い。
呼び方
数字
桁数
西洋の記数法と日本語での命数法による呼び方
एक (ek) エーク
1
100
1(一 )
दस (das) ダス
10
101
10(十 )
सौ (sau) ソウ
100
102
100(百 )
सहस्त्र (sahastr) サハストル / हज़ार (hazaar) ハザール
1,000
103
1,000(千 )
लाख (lakh) ラーク
1,00,000
105
100,000(十万 )
करोड़ (crore) カロール
1,00,00,000
107
10,000,000(千万)
अरब (arawb) アラブ
1,00,00,00,000
109
1,000,000,000(十億 )
खरब (kharawb) カラブ
1,00,00,00,00,000
1011
100,000,000,000(千億)
नील (neel) ニール
1,00,00,00,00,00,000
1013
10,000,000,000,000(十兆 )
पद्म (padma) パドマ
1,00,00,00,00,00,00,000
1015
1,000,000,000,000,000(千兆)
शंख (shankh) シャンク
1,00,00,00,00,00,00,00,000
1017
100,000,000,000,000,000(十京 )
महाशंख (mahashankh) マハーシャンク
1,00,00,00,00,00,00,00,00,000
1019
10,000,000,000,000,000,000(千京)
ヒンディー語 において、新聞などでパドマ、カラブの単位までは時折使用されるが、それ以上の単位が登場する事はない。またインド英語においては、アラブ以上の単位は通常用いられない。しかしながら、インド数学 の古い文書ではニール、パドマ、シャンクが用いられる事も多い。
高桁数の表記の場合は、ラークとカロールを組み合わせて、1ラーク・カロール(一兆、1012 )等ということが多い。
ムンバイ のギャングなどが話すスラング では、カロールのことを「コーカー」(khokha)、ラークのことを「ペーティー」(peti) ということがある。
イラン では、50万を表す単語として「コルール」(ペルシア語 : کرور Korūr)を最近まで使用していた。
シンハラ語 では、カロールを「コーティヤ」(kōţiya)、ラークを「ラクシャヤ」(lakshaya) と呼んでいる。また、カンナダ語 のような他の南インド言語では、カロールは「コティ」(koti)、ラークは「ラクシャ」(laksha) と呼ばれている。
ベンガル語 にもシャンクと同源の শঙ্খ (/ʃɔŋkʰɔ/ ションコ )という語が見られるが表す数は1012 、つまり一兆であり、またパドマと同源の পদ্ম (綴り通りにラテン文字 転写すれば padma となるが実際の発音は /pɔdːɔ̃/ ポッド )という語も存在するが指す数は1013 、つまり十兆である[12] 。
ラークは最近「ラキ」(laki) としてスワヒリ語 にも取り入れられている。
仏典の数詞
八十華厳における命数
名称
読み
n
数
10
7
× × -->
2
n
{\displaystyle 10^{7\times 2^{n}}}
倶胝
くてい
0
107
阿庾多
あゆた
1
1014
那由他
なゆた
2
1028
頻波羅
ひんばら
3
1056
矜羯羅
こんがら
4
10112
阿伽羅
あから
5
10224
最勝
さいしょう
6
10448
摩婆羅
まばら
7
10896
阿婆羅
あばら
8
101792
多婆羅
たばら
9
103584
界分
かいぶん
10
107168
普摩
ふま
11
1014336
禰摩
ねま
12
1028672
阿婆鈐
あばけん
13
1057344
弥伽婆
みかば
14
10114688
毘攞伽
びらか
15
10229376
毘伽婆
びかば
16
10458752
僧羯邏摩
そうがらま
17
10917504
毘薩羅
びさら
18
101835008
毘贍婆
びせんば
19
103670016
毘盛伽
びじょうが
20
107340032
毘素陀
びすだ
21
1014680064
毘婆訶
びばか
22
1029360128
毘薄底
びばてい
23
1058720256
毘佉擔
びきゃたん
24
10117440512
称量
しょうりょう
25
10234881024
一持
いちじ
26
10469762048
異路
いろ
27
10939524096
顛倒
てんどう
28
101879048192
三末耶
さんまや
29
103758096384
毘覩羅
びとら
30
107516192768
奚婆羅
けいばら
31
1015032385536
伺察
しさつ
32
1030064771072
周広
しゅうこう
33
1060129542144
高出
こうしゅつ
34
10120259084288
最妙
さいみょう
35
10240518168576
泥羅婆
ないらば
36
10481036337152
訶理婆
かりば
37
10962072674304
一動
いちどう
38
101924145348608
訶理蒲
かりぼ
39
103848290697216
訶理三
かりさん
40
107696581394432
奚魯伽
けいろか
41
1015393162788864
達攞歩陀
たつらほだ
42
1030786325577728
訶魯那
かろな
43
1061572651155456
摩魯陀
まろだ
44
10123145302310912
懺慕陀
ざんぼだ
45
10246290604621824
瑿攞陀
えいらだ
46
10492581209243648
摩魯摩
まろま
47
10985162418487296
調伏
ちょうぶく
48
101970324836974592
離憍慢
りきょうまん
49
103940649673949184
不動
ふどう
50
107881299347898368
極量
ごくりょう
51
1015762598695796736
阿麼怛羅
あまたら
52
1031525197391593472
勃麼怛羅
ぼまたら
53
1063050394783186944
伽麼怛羅
がまたら
54
10126100789566373888
那麼怛羅
なまたら
55
10252201579132747776
奚麼怛羅
けいまたら
56
10504403158265495552
鞞麼怛羅
べいまたら
57
101008806316530991104
鉢羅麼怛羅
はらまたら
58
102017612633061982208
尸婆麼怛羅
しばまたら
59
104035225266123964416
翳羅
えいら
60
108070450532247928832
薜羅
べいら
61
1016140901064495857664
諦羅
たいら
62
1032281802128991715328
偈羅
げら
63
1064563604257983430656
窣歩羅
そほら
64
10129127208515966861312
泥羅
ないら
65
10258254417031933722624
計羅
けいら
66
10516508834063867445248
細羅
さいら
67
101033017668127734890496
睥羅
へいら
68
102066035336255469780992
謎羅
めいら
69
104132070672510939561984
娑攞荼
しゃらだ
70
108264141345021879123968
謎魯陀
めいろだ
71
1016528282690043758247936
契魯陀
けいろだ
72
1033056565380087516495872
摩覩羅
まとら
73
1066113130760175032991744
娑母羅
しゃもら
74
10132226261520350065983488
阿野娑
あやしゃ
75
10264452523040700131966976
伽麼羅
かまら
76
10528905046081400263933952
摩伽婆
まかば
77
101057810092162800527867904
阿怛羅
あたら
78
102115620184325601055735808
醯魯耶
けいろや
79
104231240368651202111471616
薜魯婆
べいろば
80
108462480737302404222943232
羯羅波
からは
81
1016924961474604808445886464
訶婆婆
かばば
82
1033849922949209616891772928
毘婆羅
びばら
83
1067699845898419233783545856
那婆羅
なばら
84
10135399691796838467567091712
摩攞羅
まらら
85
10270799383593676935134183424
娑婆羅
しゃばら
86
10541598767187353870268366848
迷攞普
めいらふ
87
101083197534374707740536733696
者麼羅
しゃまら
88
102166395068749415481073467392
馱麼羅
だまら
89
104332790137498830962146934784
鉢攞麼陀
はらまだ
90
108665580274997661924293869568
毘伽摩
びかま
91
1017331160549995323848587739136
烏波跋多
うはばた
92
1034662321099990647697175478272
演説
えんぜつ
93
1069324642199981295394350956544
無尽
むじん
94
10138649284399962590788701913088
出生
しゅっしょう
95
10277298568799925181577403826176
無我
むが
96
10554597137599850363154807652352
阿畔多
あばんた
97
101109194275199700726309615304704
青蓮華
しょうれんげ
98
102218388550399401452619230609408
鉢頭摩
はどま
99
104436777100798802905238461218816
僧祇
そうぎ
100
108873554201597605810476922437632
趣
しゅ
101
1017747108403195211620953844875264
至
し
102
1035494216806390423241907689750528
阿僧祇
あそうぎ
103
1070988433612780846483815379501056
阿僧祇転
あそうぎてん
104
10141976867225561692967630759002112
無量
むりょう
105
10283953734451123385935261518004224
無量転
むりょうてん
106
10567907468902246771870523036008448
無辺
むへん
107
101135814937804493543741046072016896
無辺転
むへんてん
108
102271629875608987087482092144033792
無等
むとう
109
104543259751217974174964184288067584
無等転
むとうてん
110
109086519502435948349928368576135168
不可数
ふかすう
111
1018173039004871896699856737152270336
不可数転
ふかすうてん
112
1036346078009743793399713474304540672
不可称
ふかしょう
113
1072692156019487586799426948609081344
不可称転
ふかしょうてん
114
10145384312038975173598853897218162688
不可思
ふかし
115
10290768624077950347197707794436325376
不可思転
ふかしてん
116
10581537248155900694395415588872650752
不可量
ふかりょう
117
101163074496311801388790831177745301504
不可量転
ふかりょうてん
118
102326148992623602777581662355490603008
不可説
ふかせつ
119
104652297985247205555163324710981206016
不可説転
ふかせつてん
120
109304595970494411110326649421962412032
不可説不可説
ふかせつふかせつ
121
1018609191940988822220653298843924824064
不可説不可説転
ふかせつふかせつてん
122
1037218383881977644441306597687849648128
八十華厳
唐 の実叉難陀 訳の『華厳経 (八十華厳)』(新訳華厳経、唐経、大正蔵 279)の第45巻「阿僧祇品第三十」には、右表に示した命数が記述されている[13] [14] 。
105 を洛叉 、100洛叉(107 )を倶胝(くてい)とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。
最大の命数である不可説不可説転 は
10
7
× × -->
2
122
=
10
37218383881977644441306597687849648128
{\displaystyle 10^{7\times 2^{122}}=10^{37218383881977644441306597687849648128}}
という巨大な数となる。
クッキークリッカー の日本語バージョンの一つでは、「恒河沙」までは一般的な方式の命数法となっているが、それより先は独自の方式の命数法を採用している。具体的には、一般的な方式の「阿僧祇」「那由他」「不可思議」「無量大数」は登場せず、一般的な方式なら「阿僧祇」にあたる位置に八十華厳の数詞の「頻波羅」が使われており、そこから先は「矜羯羅」「阿伽羅」を採用している。なお「阿伽羅」の次の八十華厳の数詞は「最勝」であるが、これはこのゲームで扱える数値の限界を超えてしまうため、このゲームでは事実上「阿伽羅」が日本語バージョンの最高の単位となっている。
六十華厳
東晋 の仏駄跋陀羅 訳の『華厳経 (六十華厳)』(旧訳華厳経、晋経、大正蔵 278)の第29巻「心王菩薩問阿僧祇品第二十五」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている[15] [16] 。
1010 を拘梨とし、拘梨以上を上数として121の命数が列挙されている。
最大の命数である不可説転転は
10
10
× × -->
2
120
{\displaystyle 10^{10\times 2^{120}}}
という巨大な数となる。
四十華厳
唐 の般若三蔵訳の『華厳経 (四十華厳)』(貞元経、大正蔵 293)の第10巻「入不思議解脱境界普賢行願品」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている[17] [18] 。
105 を洛叉 、100洛叉(107 )を倶胝とし、倶胝以上を上数として144の命数が列挙されている。
最大の命数である不可説不可説転 は
10
7
× × -->
2
142
{\displaystyle 10^{7\times 2^{142}}}
という巨大な数となる。
これら3つの華厳経では、八十華厳・四十華厳の洛叉は別として、他はいずれも上数で2乗すると次の単位になるため、二重指数関数に当たる。もっとも、これらは実用のものではなく、計算もできないほど大きな数を示して悟り の功徳 の大きさを表したものである。
大和言葉(和語)によるひふみ詞命数法
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大和言葉 (和語)によって巨大な数を表す方式には、ひふみ詞によるものがあり、1038 の桁まで表せる。ただし実際には、「よろず(ろ)」より上が命数法として使用されることはほとんどない。
大和言葉(和語)命数法
名称
数
ひとつ(ひ)
1(一)
ふたつ(ふ)
2(二)
みっつ(み)
3(三)
よっつ(よ)
4(四)
いつつ(い)
5(五)
むっつ(む)
6(六)
ななつ(な)
7(七)
やっつ(や)
8(八)
ここのつ(こ)
9(九)
とお(と)
10(十)
もも(も)
100(百)
ち
1,000(千)
よろず(ろ)
10,000(万)
ら
100,000(十万)
ね
1,000,000(百万)
し
10,000,000(千万)
き
100,000,000(一億)
る
109 (十億)
ゆ
1010 (百億)
ゐ
1011 (千億)
つ
1012 (一兆)
わ
1013 (十兆)
ぬ
1014 (百兆)
そ
1015 (千兆)
を
1016 (一京)
た
1017 (十京)
は
1018 (百京)
く
1019 (千京)
め
1020 (一垓)
か
1021 (十垓)
う
1022 (百垓)
お
1023 (千垓)
ゑ
1024 (一𥝱)
に
1025 (十𥝱)
さ
1026 (百𥝱)
り
1027 (千𥝱)
へ
1028 (一穣)
て
1029 (十穣)
の
1030 (百穣)
ま
1031 (千穣)
す
1032 (一溝)
あ
1033 (十溝)
せ
1034 (百溝)
え
1035 (千溝)
ほ
1036 (一澗)
れ
1037 (十澗)
け
1038 (百澗)
小数の命数法
中国 に由来する漢数字 では、小数については、一桁(0.1倍)ごとに新たな名前を付ける下数が行われている。これに対し、ヨーロッパ言語やインドにおいては分数の表記としては、half や quarter、en:Roman numerals#Fractions のような表現にはあるが、10進法の少数について桁ごとに名称を付すことは行われていない。漢数字については、位の小さなものの名称については時代や地域、また書物によって相違がある。例えば朱世傑 『算学啓蒙 (中国語版 ) 』では沙以下は万万進としているほか、「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」の4つの別の名とするなどの違いがある。以下は一例である。
小数の命数法
呼称
数
備考
一 (いち)
100
分 (ぶ)
10−1
厘 (釐)(りん)
10−2
毛 (毫)(もう)
10−3
糸 (絲)(し)
10−4
忽 (こつ)
10−5
微 (び)
10−6
繊 (せん)
10−7
沙 (しゃ)
10−8
塵 (じん)
10−9
埃 (あい)
10−10
渺 (びょう)
10−11
漠 (ばく)
10−12
模糊 (もこ)
10−13
逡巡 (しゅんじゅん)
10−14
須臾 (しゅゆ)
10−15
瞬息 (しゅんそく)
10−16
弾指 (だんし)
10−17
刹那 (せつな)
10−18
六徳 (りっとく)
10−19
虚空 (こくう)、空虚(くうきょ)
10−20
「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」と分けた場合、「虚」10−20 「空」10−21
清浄 (せいじょう)
10−21
「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」と分けた場合、「清」10−22 「浄」10−23
このうち、『塵劫記』では埃以上のみが紹介されている[19] 。
実用で用いられるのは毛あるいは糸くらいまでであり、それ以下については名前がついているだけで実際にはほとんど用いられない。なお、「六徳」は「徳」の6倍という意味ではなく、「六徳」で一つの単位である。
実際に桁を連ねるときは、「二寸 三分四厘」のように1の位の後に「基準単位 (ここでは「寸」)」をつける。現代的な表現が「2.34寸 」のように最後に「基準単位」を付けるのとは異なる。
日本語
現代の日本では、上記の小数の命数法は、野球選手の打率や守備率、スポーツチームの勝率、レートまたは割引を表す場合によく用いられる。「36度5分」(36.5 ℃)のように、温度を表す時にも、慣用表現 (「五分五分の勝負」、「九分九厘」、「七分袖」など) でも用いられる。
かつては尺貫法 において、基準となる計量単位 (寸 、文 、匁 )とともによく用いられていた(分 (数)#計量単位など )。現代では例えば 36.5 度と表記するが、伝統的には36度5分というように基準単位(ここでは「度」)の後に小数の数詞(「分」)を付して記述する。長さの場合は、2寸3分4厘 のようになる。 意味は 2.34寸と同じである。
また、割 と用いられることも多い。例えば、2割4分7厘は、分は割の1/10、厘は割の1/100であるので、現代風に書くと、2.47 割ということになる。
割と共に用いる場合の誤解
基準単位として「割 」を使う場合は「2割4分7厘」のようになることから、「分は全体の 1/100、厘は全体の 1/1000 」と勘違いをされることがある。しかし、これは「2.47割」の意味であって、「分は割の 1/10、厘は割の 1/100」であって、長さの場合の「2寸3分4厘 = 2.34寸」と同様の表現である。
上記の勘違いを生ずる原因は、割を用いる場合に割そのものが 1/10 を意味するために、「分が全体の 1/100、厘が全体の 1/1000 」と誤解するからである。分、厘、毛などの数詞は、「基準単位」(例えば、寸、割、匁など)の小数を意味することを理解しておく必要がある。
小数点と3桁区切り
小数点 には地域(言語)によって、ピリオド (.)又はコンマ (,)が使われる(小数点#二つの方式 )。日本ではピリオドが使われることがほとんどである。
3桁区切りについては、国際機関では小数点を基準に3桁毎にコンマ(,)やピリオド(.)を入れることを禁止 しており、その代わりにスペース (通常は半角スペース(en:thin space ))を入れると規定している。これは小数点にピリオドとコンマの両方が使われていることから、3桁毎にコンマやピリオドを入れると重大な誤読を招くおそれがあるからである。
国際単位系国際文書 (SI文書)の要約は次のように記している。
数字の桁数が多い場合は、読み易くするために、小数点から3桁ごとにグループ分けすることが習慣化している。これは必須ではないが、このようにされることが多く、一般的に分かり易い。この書式を使う場合、3桁ごとのグループ分けには空白のみを用い、
点やカンマを使ってはならない。 [20]
short scale(英語など)での呼び方
数
short scale
対応する漢数字
補足
1
one
一
1
102
hundred
百
100
103
thousand
千
1000
106
million
百万
1000×1000 (=1,000,000)
109
billion
十億
1000×10002 (=1,000,000,000)
1012
trillion
一兆
1000×10003 (=1,000,000,000,000)
1015
quadrillion
千兆
1000×10004 (=1,000,000,000,000,000)
1018
quintillion
百京
1000×10005
1021
sextillion
十垓
1000×10006
1024
septillion
一𥝱
1000×10007
1027
octillion
千𥝱
1000×10008
1030
nonillion
百穣
1000×10009
1033
decillion
十溝
1000×100010
1036
undecillion
一澗
1000×100011
1039
duodecillion
千澗
1000×100012
1042
tredecillion
百正
1000×100013
1045
quattuordecillion
十載
1000×100014
1048
quindecillion
一極
1000×100015
1051
sexdecillion
千極
1000×100016
1054
septendecillion
百恒河沙
1000×100017
1057
octodecillion
十阿僧祇
1000×100018
1060
novemdecillion
一那由他
1000×100019
1063
vigintillion
千那由他
1000×100020
1066
unvigintillion
百不可思議
1000×100021
1069
duovigintillion
十無量大数
1000×100022
1072
tresvigintillion
※※※
1000×100023
1093
trigintillion
※※※
1000×100030
10100
googol
※※※
10×100033
10123
quadragintillion
※※※
1000×100040
long scale での呼び方
数
long scale
対応する漢数字
補足
106
million
百万
(1 000 000)1
1012
billion
一兆
(1 000 000)2 (=1 000 000 000 000)
1018
trillion
百京
(1 000 000)3 (=1 000 000 000 000 000 000)
1024
quadrillion
一𥝱
(1 000 000)4 (=1 000 000 000 000 000 000 000 000)
1030
quintillion
百穣
(1 000 000)5 (=1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000)
1036
sextillion
一澗
(1 000 000)6 (=1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000)
1042
septillion
百正
(1 000 000)7
1048
octillion
一極
(1 000 000)8
1054
nonillion
百恒河沙
(1 000 000)9
1060
decillion
一那由他
(1 000 000)10
1066
undecillion
百不可思議
(1 000 000)11
1072
duodecillion
※※※
(1 000 000)12
脚注
関連項目
外部リンク