אקסל נולד ב-1946 בקראון הייטס, שכונה ענייה יחסית, בברוקלין, ניו יורק[3]. הוא היה בן בכור להורים יהודים שברחו לארצות הברית מפולין, בעקבות כיבושה על ידי הנאצים במלחמת העולם השנייה. אביו היה חייט והוא עצמו התחיל לעבוד כבר בגיל 11, במקביל ללימודיו, כשליח, מלצר ועבודות מזדמנות נוספות מסוג זה.
כשהגיע לגיל 14 ביקש אקסל להירשם כמו כל ילדי השכונה לבית הספר התיכון המקומי של ברוקלין, בין השאר גם משום שהצטיין בכדורסל ולבית ספר זה הייתה נבחרת כדורסל מעולה, אולם מנהל בית הספר היסודי התעקש לשלוח את הנער דווקא לבית הספר למחוננים, ששכן במנהטן. כתוצאה מכך השתנו תחומי העניין של אקסל והוא נחשף לעולמות המוזיקה והספרים. אירוע שסייע לו ככל הנראה לנטוש את הכדורסל היה המשחק בין נבחרת בית ספרו החדש, בה היה הוא הרכז, לבין נבחרת בית ספר תיכון עירוני יריב, שהרכז שלה, בן ה-16, היה כרים עבדול-ג'באר. לדברי אקסל, כרים עבדול-ג'באר קלע באותו משחק 54 נקודות, בעוד הוא עצמו הסתפק בשתיים בלבד. הוא הבין אז, שלא על הכדורסל תהיה תפארתו.
אוניברסיטת קולומביה
ב-1963, עם סיום בית הספר התיכון קיבל אקסל מלגה נדיבה לאוניברסיטת קולומביה והחל ללמוד שם, בכוונה להתמקד בספרות. במקביל נאלץ אקסל גם לעבוד למחייתו ועבודה זו כללה בין השאר גם שטיפת מבחנות במעבדה לביולוגיה. מהר מאוד הוא פוטר מעבודתו המקורית והתקבל לעבודה באותה מעבדה כעוזר הוראה. במקביל ובהתאמה השתנה גם כיוון לימודיו, מספרות לביולוגיה.
אקסל התחיל את התמחותו במעבדה לפתולוגיה, אך כעבור שנה עבר למעבדה לגנטיקה, ובה הרגיש שהגיע לבסוף לתחום העניין האמיתי שלו, ביולוגיה מולקולרית. מכאן ואילך המשיך בתחום זה, בו גם עשה את המחקר שהביא לו את פרס נובל.
לתקופה קצרה עזב אקסל את אוניברסיטת קולומביה ועבד במסגרת המכונים הלאומיים לבריאות - NIH, אולם ב-1974 חזר לקולומביה, בתור מרצה זוטר במכון לחקר הסרטן באוניברסיטה, ואף קיבל לראשונה מעבדה משלו. באותה עת הוא למד על מבנים של גנים בכרומטין. ב-1978 הוא הפך לפרופסור מן המניין באוניברסיטה ובה הוא מכהן עד היום.
לקראת סוף שנות השבעים גילה אקסל, יחד עם חוקרים נוספים מאוניברסיטת קולומביה, שיטה להחדרת DNA זר, לתוך ה-DNA של תא מארח, כך שהתא ייצר חלבונים, כרצוננו. אוניברסיטת קולומביה רשמה פטנטים מתאימים על שיטה זו והרוויחה כתוצאה מ"הפטנטים של אקסל" כפי שהם קרויים, מעל 100 מיליון דולר[4]. השיטה איפשרה לבודד גנים וכן לנתח איך הם פועלים. בשיטה זו זיהה תלמידו, מיכאל ויגלר, במקביל לבוב ויינברג מ-MIT, את משפחת חלבוני ras כגורמים להעברת אותות לא תקינה בתאים סרטניים.
ב-1982 החל אקסל לחשוב על היישומים של ביוטכנולוגיה, תחום שהיה חדש באותה עת, וספציפית על יישומים של רקומבינציה של DNA, על נוירוביולוגיה. כתוצאה מכך, נפגש עם אריק קנדל, זוכה פרס נובל לפיזיולוגיה או לרפואה לשנת 2000, בעקבותיה החל ללמוד אקסל מקנדל על השפעות מולקולריות על תפקודים מוחיים.
אקסל נישא לאן לבית קוטרל (נולדה ב-1947) ויש להם שני בנים. לאחר גירושיו נישא אקסל בשנית לקורנליה (קורי) ברגמן (נולדה ב-1961), גנטיקאית וחוקרת ידועה בזכות עצמה, באוניברסיטת רוקפלר.
פרס נובל
לקראת סוף שנות השמונים, החל אקסל לחקור יחד עם לינדה באק, כיצד קולט המוח גירויים חיצוניים שונים, ובאופן ספציפי, איך ריח מסוים מתורגם במוח מבחינה מולקולרית, כך שתיווצר הבנה מסוימת שלו, וכיצד למעלה מ-1,000 גנים שונים מעצבים את הדרך בה אנו קולטים ומבינים גירויי ריחות חיצוניים. גנים אלה יוצרים שורה של רצפטורים, ובהם נוירונים, המצויים על גבי הנחיריים. הנוירונים הללו שולחים אותות חשמליים ישירות לאזור שאחראי על הריח במוח (olfactory bulb). משם, נשלחים אותות חשמליים, הן לאזורי עיבוד גבוהים יותר במוח והן לאזורים האחראיים על רגשות. במחקרם הם גם בדקו כיצד פועל במוחנו חוש הריח ומדוע אנו מסוגלים לחוש לא פחות מ-10,000 סוגי ריח שונים. הם מצאו שריחות נקלטים על ידי כמה רצפטורים שונים והאותות מהרצפטורים השונים מתכנסים לאותה נקודה במוח. המחקר שלהם התמקד בהבנת הצד הגנטי של חוש הריח. מאמרם של אקסל ובאק בעניין זה פורסם באפריל 1991 ואת פרס נובל לפיזיולוגיה או לרפואה הם קיבלו כעבור 13 שנה[5].