Distribució rectificada gaussiana

En teoria de la probabilitat, la distribució rectificada gaussiana és una modificació de la distribució gaussiana en què els seus elements negatius estan a (anàleg al rectificador electrònic). És bàsicament una barreja de la distribució discreta (constant 0) i una distribució contínua (una distribució truncada gaussiana d'interval ${\displaystyle (0,\infty )}$) com a resultat de la censura estadística.

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat de la distribució rectificada gaussiana, per la qual les variables aleatòries X que tenen aquesta distribució, derivades de la distribució normal ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),}$ es mostren com ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, ve donada per:

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).}$

Comparació entre la distribució gaussiana, la distribució rectificada gaussiana i la distribució truncada gaussiana.

Aquí, ${\displaystyle \Phi (x)}$ és la funció de distribució acumulativa (cdf) de la distribució normal estàndard:

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\quad x\in \mathbb {R} ,}$

on ${\displaystyle \delta (x)}$ és la funció delta de Dirac

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

i, ${\displaystyle {\textrm {U}}(x)}$ és la funció esglaó de Heaviside:

${\displaystyle {\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}}$

Mitjana i variància

Com que la distribució normal no rectificada té mitjana ${\displaystyle \mu }$ i com que en rectificar-la part de la massa de probabilitat ha estat moguda a valors més alts (de valors negatius fins al 0), la mitjana de la distribució rectificada és més alta que ${\displaystyle \mu .}$

Com que la distribució rectificada sorgeix en moure valors de la funció de densitat de probabilitat d'una regió cap a l'altra, la rectificació és una contracció que preserva la mitjana combinada amb un moviment rígid de la distribució que sí canvia la mitjana i, per tant, la variància decreix; per tant la variància de la distribució rectificada és menor que ${\displaystyle \sigma ^{2}.}$

Generació de valors

Per generar valors computacionalment, es pot usar:

${\displaystyle s\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\quad x={\textrm {max}}(0,s),}$

i llavors:

${\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$

Aplicacions

Una distribució rectificada gaussiana és semi-conjugada a la probabilitat gaussiana, i s'ha aplicat recentment en anàlisi factorial, o en particular, a l'anàlisi factorial rectificada (no-negativa). Harva^[1] va proposar un algoritme d'aprenentatge variacional per al model factorial rectificat, en què els factors segueixen una barreja de gaussiana rectificada; i posteriorment Meng^[2] va proposar un model factorial rectificat infinit juntament amb la solució de mostreig de Gibbs, en què els factors segueixen un procés de Dirichlet mescla de distribució rectificada gaussiana, i el va aplicar en biologia computacional per a la reconstrucció de xarxes reguladores de gens.

Referències

1. Harva, M.; Kaban, A. «Variational learning for rectified factor analysis☆». Signal Processing, 87, 3, 2007, pàg. 509. DOI: 10.1016/j.sigpro.2006.06.006.
2. Meng, Jia; Zhang, Jianqiu (Michelle); Chen, Yidong; Huang, Yufei «Bayesian non-negative factor analysis for reconstructing transcription factor mediated regulatory networks». Proteome Science, 9, Suppl 1, 2011, pàg. S9. DOI: 10.1186/1477-5956-9-S1-S9. ISSN: 1477-5956.