Distribució q de Weibull

Distribució q de Weibull

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	Distribució de Tsallis
Paràmetres	${\displaystyle q<2}$ paràmetre de forma (real) ${\displaystyle \lambda >0}$ escala (real) ${\displaystyle \kappa >0\,}$ forma (real)
Suport	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\!{\text{ per }}q\geq 1}$ ${\displaystyle x\in [0;{\lambda \over {(1-q)^{1/\kappa }}}){\text{ per }}q<1}$
fdp	${\displaystyle {\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\kappa -1}e_{q}^{-(x/\lambda )^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
FD	${\displaystyle {\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
Esperança matemàtica	(vegeu article)

En estadística, la distribució q de Weibull és una distribució de probabilitat que generalitza la distribució de Weibull i la distribució de Lomax (Pareto de tipus II). És un exemple de distribució de Tsallis.

Caracterització

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat d'una variable aleatòria amb una distribució q de Weibull és:^[1]

${\displaystyle f(x;q,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\kappa -1}e_{q}(-(x/\lambda )^{\kappa })&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

on q < 2, ${\displaystyle \kappa }$ > 0 són paràmetres de forma i λ > 0 és un paràmetre d'escala de la distribució i

${\displaystyle e_{q}(x)={\begin{cases}\exp(x)&{\text{if }}q=1,\\[6pt][1+(1-q)x]^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x>0,\\[6pt]0^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x\leq 0,\\[6pt]\end{cases}}}$

és la q-exponencial^[1][2][3]

Funció de distribució acumulada

La funció de distribució acumulada d'una variable aleatòria q de Weibull és:

${\displaystyle {\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

on

${\displaystyle \lambda '={\lambda \over (2-q)^{1 \over \kappa }}}$

${\displaystyle q'={1 \over (2-q)}}$

Mitjana

La mitjana de la distribució q de Weibull és:

${\displaystyle \mu (q,\kappa ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \,\left(2+{\frac {1}{1-q}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)(1-q)^{-{\frac {1}{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},2+{\frac {1}{1-q}}\right]&q<1\\\lambda \,\Gamma (1+{\frac {1}{\kappa }})&q=1\\\lambda \,(2-q)(q-1)^{-{\frac {1+\kappa }{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},-\left(1+{\frac {1}{q-1}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)\right]&1<q<1+{\frac {1+2\kappa }{1+\kappa }}\\\infty &1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}}\leq q<2\end{cases}}}$

on ${\displaystyle B()}$ és la funció beta i ${\displaystyle \Gamma ()}$ és la funció gamma. L'expressió per la mitjana és una funció contínua en q sobre en què està definit com a finit.

Relació amb altres distribucions

La distribució q de Weibull és l'equivalent a la distribució de Weibull quan q = 1 i a la q-exponencial quan ${\displaystyle \kappa =1}$

La distribució q de Weibull és una generalització de la de Weibull, ja que estén aquesta distribució als casos amb domini finit (q < 1) i inclou les distribucions heavy-tailed ${\displaystyle (q\geq 1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}})}$.

La distribució q de Weibull és una generalització de la distribució de Lomax (Pareto de tipus II), ja que estén aquesta distribució als casos de domini finit i afegeix el paràmetre ${\displaystyle \kappa }$. Els paràmetres de la Lomax són:

${\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}}~,~\lambda _{\text{Lomax}}={1 \over {\lambda (q-1)}}}$

Com que la distribució de Lomax és una versió modificada de la distribució de Pareto, la distribució q de Weibull amb ${\displaystyle \kappa =1}$ és una generalització modificada reparametritzada de la de Pareto. Quan q > 1, la q-exponencial és equivalent a la modificada de Pareto que té un domini que comença en el zero. Específicament:

${\displaystyle {\text{If }}X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Weibull} (q,\lambda ,\kappa =1){\text{ i }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={1 \over {\lambda (q-1)}},\alpha ={{2-q} \over {q-1}}\right)-x_{m}\right],{\text{ llavors}}X\sim Y\,}$

Referències

1. ; Mendes, R. S.; Malacarne, L. C. q-exponential, Weibull, and q-Weibull distributions: an empirical analysis, 2003. 
2. Naudts, Jan «The q-exponential family in statistical physics». J. Phys. Conf. Ser.. IOP Publishing, 201, 2010. arXiv: 0911.5392. DOI: 10.1088/1742-6596/201/1/012003 [Consulta: 9 juny 2014].
3. «On a q-Central Limit Theorem Consistent with Nonextensive Statistical Mechanics». Milan J. Math., 76, 2008. Arxivat de l'original el 4 de març 2016. DOI: 10.1007/s00032-008-0087-y [Consulta: 9 juny 2014]. Arxivat 4 de març 2016 a Wayback Machine.