En la teoria de la probabilitat i l'estadística direccional, una distribució exponencial envoltada és una distribució de probabilitat envoltada que resulta de l'"embolcall" de la distribució exponencial al voltant del cercle unitari.[1][2]
La funció de densitat de probabilitat de la distribució exponencial envoltada és [3]
per 0 ≤ θ < 2 π {\displaystyle 0\leq \theta <2\pi } on λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} és el paràmetre de velocitat de la distribució sense embolcall. Això és idèntic a la distribució truncada obtinguda restringint els valors observats X de la distribució exponencial amb el paràmetre de velocitat λ al rang 0 ≤ X < 2 π {\displaystyle 0\leq X<2\pi } .
La funció característica de l'exponencial embolicat és només la funció característica de la funció exponencial avaluada en arguments enters: [4]
φ n ( λ ) = 1 1 − i n / λ {\displaystyle \varphi _{n}(\lambda )={\frac {1}{1-in/\lambda }}}
que produeix una expressió alternativa per a la fdp exponencial embolicat en termes de la variable circular z=e i (θ -m) vàlida per a tots els θ i m reals:
f W E ( z ; λ ) = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ z − n 1 − i n / λ = { λ π Im ( Φ ( z , 1 , − i λ ) ) − 1 2 π if z ≠ 1 λ 1 − e − 2 π λ if z = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}f_{WE}(z;\lambda )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {z^{-n}}{1-in/\lambda }}\\[10pt]&={\begin{cases}{\frac {\lambda }{\pi }}\,{\textrm {Im}}(\Phi (z,1,-i\lambda ))-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]{\frac {\lambda }{1-e^{-2\pi \lambda }}}&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}
on Φ ( ) {\displaystyle \Phi ()} és la funció transcendent de Lerch.