Distribució de Poisson mixta

Distribució de Poisson mixta

Tipus	distribució de probabilitat discreta i Distribució de probabilitat composta
Epònim	Siméon Denis Poisson
Notació	${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )}$
Paràmetres	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$
Suport	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$
fpm	${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
Variància	${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi })^{2})\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
Coeficient de simetria	${\displaystyle {\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}}$
FGM	${\displaystyle M_{\pi }(e^{t}-1)}$, amb ${\displaystyle M_{\pi }}$
FC	${\displaystyle M_{\pi }(e^{it}-1)}$
FGP	${\displaystyle M_{\pi }(z-1)}$

Una distribució de Poisson mixta és una distribució de probabilitat discreta univariada en estocàstica. Resulta d'assumir que la distribució condicional d'una variable aleatòria, donat el valor del paràmetre de taxa, és una distribució de Poisson, i que el paràmetre de taxa en si es considera una variable aleatòria. Per tant, és un cas especial d'una distribució de probabilitat composta. Les distribucionsde Poisson mixtes es poden trobar a les matemàtiques actuarials com a enfocament general per a la distribució del nombre de reclamacions i també s'examinen com a model epidemiològic. No s'ha de confondre amb la distribució composta de Poisson o el procés compost de Poisson.^[1][2]

Definició

Una variable aleatòria X satisfà la distribució mixta de Poisson amb densitat π(λ) si té la distribució de probabilitat ^[3]

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$

Si denotem les probabilitats de la distribució de Poisson per q_λ (k), aleshores

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$ ^[4]

Referències

1. Willmot, Gord (en anglès) ASTIN Bulletin, 16, S1, 1986, pàg. S59–S79. DOI: 10.1017/S051503610001165X. ISSN: 0515-0361 [Consulta: free].
2. Qin, Jing. Noncentral Hypergeometric Distribution and Poisson Binomial Distribution (en anglès). Singapore: Springer, 2017, p. 297–305. DOI 10.1007/978-981-10-4856-2_16. ISBN 978-981-10-4856-2. 
3. Willmot, Gord Astin Bulletin, 16, 29-08-2014, pàg. 5–7. DOI: 10.1017/S051503610001165X.
4. «Biased Sampling; The Noncentral Hypergeometric Probability Distribution | Department of Statistics» (en anglès). https://statistics.stanford.edu.+[Consulta: 8 juliol 2023].