Distribució ARGUS

Distribució ARGUS

Funció de densitat de probabilitat c = 1.
Funció de distribució de probabilitat c = 1.
Tipus	distribució de probabilitat
Paràmetres	${\displaystyle c>0}$ tall (real) ${\displaystyle \chi >0}$ curvatura (real)
Suport	${\displaystyle x\in (0,c)\!}$
fdp	vegeu text
FD	vegeu text
Esperança matemàtica	${\displaystyle \mu =c{\sqrt {\pi /8}}\;{\frac {\chi e^{-{\frac {\chi ^{2}}{4}}}I_{1}({\tfrac {\chi ^{2}}{4}})}{\Psi (\chi )}}}$ on I1 és la funció de Bessel modificada de primer tipus d'ordre 1, i ${\displaystyle \Psi (x)}$ es descriu al text.
Moda	${\displaystyle {\frac {c}{{\sqrt {2}}\chi }}{\sqrt {(\chi ^{2}-2)+{\sqrt {\chi ^{4}+4}}}}}$
Variància	${\displaystyle c^{2}\!\left(1-{\frac {3}{\chi ^{2}}}+{\frac {\chi \phi (\chi )}{\Psi (\chi )}}\right)-\mu ^{2}}$

En física, la distribució ARGUS, nomenada així per l'experiment de física de partícules ARGUS,^[1] és la distribució de probabilitat de la massa invariant reconstruïda d'una partícula en desintegració a sobre d'un fons continu.

Definició

La funció de densitat de probabilitat (fdp) de la distribució ARGUS és:

${\displaystyle f(x;\chi ,c)={\frac {\chi ^{3}}{{\sqrt {2\pi }}\,\Psi (\chi )}}\cdot {\frac {x}{c^{2}}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}}}\exp {\bigg \{}-{\frac {1}{2}}\chi ^{2}{\Big (}1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}{\Big )}{\bigg \}},}$

per a ${\displaystyle 0\leq x<c}$. On ${\displaystyle \chi }$ i ${\displaystyle c}$ són paràmetres de la distribució, i

${\displaystyle \Psi (\chi )=\Phi (\chi )-\chi \phi (\chi )-{\tfrac {1}{2}},}$

on ${\displaystyle \Phi (x)}$ i ${\displaystyle \phi (x)}$ són la funció de distribució acumulada i la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal estàndard, respectivament.

Funció de distribució acumulada

La funció de distribució acumulada (FD) de la distribució ARGUS és

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {\Psi \left(\chi {\sqrt {1-x^{2}/c^{2}}}\right)}{\Psi (\chi )}}}$.

Estimació de paràmetres

Se suposa que el paràmetre c és conegut (el límit cinemàtic de la distribució de la massa invariant), mentre que χ es pot estimar a partir de la mostra X₁, …, X_n utilitzant el principi de màxima versemblança. L'estimador és una funció del segon moment de la mostra i es dona com a solució a l'equació no lineal

${\displaystyle 1-{\frac {3}{\chi ^{2}}}+{\frac {\chi \phi (\chi )}{\Psi (\chi )}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{2}}{c^{2}}}}$.

La solució existeix i és única, sempre que el costat dret sigui superior a 0,4; l'estimador resultant ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\chi }}}$ és consistent i asimptòtic normal.

Distribució ARGUS generalitzada

De vegades es fa servir una forma més general per a descriure una distribució més en forma de pic:

${\displaystyle f(x)={\frac {2^{-p}\chi ^{2(p+1)}}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}}\cdot {\frac {x}{c^{2}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)^{p}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)\right\},\qquad 0\leq x\leq c,}$

on Γ(·) és la funció gamma, i Γ(·,·) és la funció gamma incompleta superior.

On els paràmetres c, χ, p representen el tall, curvatura i potència, respectivament.

La moda és

${\displaystyle {\frac {c}{{\sqrt {2}}\chi }}{\sqrt {(\chi ^{2}-2p-1)+{\sqrt {\chi ^{2}(\chi ^{2}-4p+2)+(1+2p)^{2}}}}}}$

p = 0,5 dona un ARGUS regular, esmentat anteriorment.

Referències

1. Albrecht, H. «Search for hadronic b→u decays» (en anglès). Physics Letters B, 241.2, 1990, pàg. 278–282. Bibcode: 1990PhLB..241..278A. DOI: 10.1016/0370-2693(90)91293-K. (Més formalment per ARGUS Collaboration, H. Albrecht et al.) En aquest article, la funció s'ha definit amb el paràmetre c que representa l'energia del feix i el paràmetre p establert a 0,5. La normalització i el paràmetre χ s'han obtingut a partir de les dades.

Bibliografia

• Albrecht, H. «Measurement of the polarization in the decay B → J/ψK*» (en anglès). Physics Letters B, 340.3, 1994, pàg. 217–220. Bibcode: 1994PhLB..340..217A. DOI: 10.1016/0370-2693(94)01302-0.
• Pedlar, T. ;Cronin-Hennessy, D. ;Hietala, J. ;Dobbs, S. ;Metreveli ,Z. ;Seth ,K. ;Tomaradze ,A. ;Xiao ,T. ;Martin ,L. «Observation of the h_c(1P) Using e⁺e⁻ Collisions above the DD Threshold» (en anglès). Physical Review Letters, 107.4, 2011, pàg. 041803. arXiv: 1104.2025. Bibcode: 2011PhRvL.107d1803P. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.041803. PMID: 21866994.
• Lees, J. P. ;Poireau, V. ;Prencipe, E. ;Tisserand, V. ;Garra Tico, J. ;Grauges, E. ;Martinelli, M. ;Palano, A. ;Pappagallo, M. ;Eigen, G. ;Stugu, B. ;Sun, L. ;Battaglia, M. ;Brown, D. N. ;Hooberman, B. ;Kerth, L. T. ;Kolomensky, Y. G. ;Lynch, G. ;Osipenkov, I. L. ;Tanabe, T. ;Hawkes, C. M. ;Soni, N. ;Watson, A. T. ;Koch, H. ;Schroeder, T. ;Asgeirsson, D. J. ;Hearty, C. ;Mattison, T. S. ;McKenna, J. A. ;Barrett, M. «Search for Charged Lepton Flavor Violation in Narrow Υ Decays» (en anglès). Physical Review Letters, 104.15, 2010, pàg. 151802. arXiv: 1001.1883. Bibcode: 2010PhRvL.104o1802L. DOI: 10.1103/PhysRevLett.104.151802. PMID: 20481982.