En estadística, la distribució beta variada matricial és una generalització de la distribució beta. Si U {\displaystyle U} és un p × p {\displaystyle p\times p} matriu definida positiva amb una distribució beta variada matricial, i a , b > ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle a,b>(p-1)/2} són paràmetres reals, escrivim U ∼ B p ( a , b ) {\displaystyle U\sim B_{p}\left(a,b\right)} (de vegades B p I ( a , b ) {\displaystyle B_{p}^{I}\left(a,b\right)} ). La funció de densitat de probabilitat per a U {\displaystyle U} és:[1]
{ β p ( a , b ) } − 1 det ( U ) a − ( p + 1 ) / 2 det ( I p − U ) b − ( p + 1 ) / 2 . {\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.}
Aquí β p ( a , b ) {\displaystyle \beta _{p}\left(a,b\right)} és la funció beta multivariada:[2]
β p ( a , b ) = Γ p ( a ) Γ p ( b ) Γ p ( a + b ) {\displaystyle \beta _{p}\left(a,b\right)={\frac {\Gamma _{p}\left(a\right)\Gamma _{p}\left(b\right)}{\Gamma _{p}\left(a+b\right)}}}
on Γ p ( a ) {\displaystyle \Gamma _{p}\left(a\right)} és la funció gamma multivariada donada per
Γ p ( a ) = π p ( p − 1 ) / 4 ∏ i = 1 p Γ ( a − ( i − 1 ) / 2 ) . {\displaystyle \Gamma _{p}\left(a\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-(i-1)/2\right).}
Si U ∼ B p ( a , b ) {\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)} llavors la densitat de X = U − 1 {\displaystyle X=U^{-1}} està donada per[3]
1 β p ( a , b ) det ( X ) − ( a + b ) det ( X − I p ) b − ( p + 1 ) / 2 {\displaystyle {\frac {1}{\beta _{p}\left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2}}
sempre que X > I p {\displaystyle X>I_{p}} i a , b > ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle a,b>(p-1)/2} .[4]