Нижня основа також може бути напівправильним рівнокутним восьмикутником (дітетрагоном), в якому сторони рівні через одну, і всі кути рівні. При цьому сторона верхнього квадрата має бути рівною більшій стороні дітетрагона.
Два куполи можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи багатогранник бікупол[en], в прямій (якщо з'єднані однойменні грані) або повернутій (якщо з'єднані різнойменні грані) орієнтації.
Кожна трикутна грань оточена двома квадратами та одним восьмикутником; одна квадратна грань (верхня основа) оточена чотирма квадратами; чотири квадратні грані (бокові) оточені двома трикутними, однією квадратною та однією восьмикутною гранями; восьмикутна грань оточена чотирма трикутними та чотирма квадратними гранями.
Має 20 ребер однакової довжини. 4 ребра розташовуються між двома квадратними гранями, 8 ребер — між квадратною і трикутною гранями, 4 ребра — між трикутною і восьмикутною гранями, 4 ребра ‒ між квадратною і восьмикутною гранями.
У чотирисхилого купола 12 вершин: 4 вершини оточені трикутною і трьома квадратними гранями; 8 вершин оточені трикутною, квадратною та 8-кутною гранями.
Чотирисхилий купол можна розглядати як зріз ромбокубооктаедра, і може бути отриманий шляхом розділу ромбокубооктаедра площиною по восьмикутному перерізу між двома протилежними паралельними квадратними гранями.
Ромбокубооктаедр двома такими розсіченнями може бути розділений на два квадратні куполи та восьмикутну рівносторонню призму.
І навпаки, два чотирисхилих куполи в прямій орієнтації можна поєднати з рівносторонньою восьмикутною призмою по восьмикутній грані, і отримати ромбокубооктаедр (який також можна назвати подовженим квадратним ортобікуполом)
Чотирисхилий купол має вісь поворотної симетрії 4-го порядку, що проходить через центри основ; а також чотири площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи.
Формули
Діагоналі
Кількість діагоналейопуклого багатогранника: , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. Для чотирисхилого купола:
Координати вершин квадратного купола з довжиною ребра a = 1:[4]
, — ці координати формують верхню квадратну грань купола.
, , , — ці координати формують нижню восьмикутну грань купола, що знаходиться в площині XОY і з центром на початку координат. Вісь купола співпадає з віссю Oz.
Його топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням симетрії початкового багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до початкового чотирисхилого купола можуть різнитися.
Двоїстий до чотирисхилого купола (Напіврозсічений чотирикутний трапецоедр, dJ4) має 12 граней: 8 трикутників + 4 дельтоїда; 20 ребер, 10 вершин.
Двоїстий багатогранник
Розгортка двоїстого
Споріднені багатогранники
Чотирисхилий купол належить до родини куполів. Сімейство n-куполів з правильними гранями існує до n = 5 включно.
Два чотирисхилих куполи можуть бути з'єднані своїми восьмикутними основами в прямій орієнтації (поєднуються однойменні бокові грані); отримаємо багатогранник Джонсона J27 — чотириcхилий прямий бікупол[en]. Якщо один з куполів повернути на 45º, то отримаємо багатогранник Джонсона J29 - чотириcхилий повернутий бікупол[en].
Його можна отримати як зріз неопуклого великого ромбокубооктаедра[en] або квазіромбокубооктаедра, аналогічно тому, як квадратний купол можна отримати як зріз ромбокубооктаедра. Як і в усіх куполах, багатокутник основи має вдвічі більше ребер і вершин, ніж верхній багатокутник; у цьому випадку багатокутник основи є октаграмою.
Його можна розглядати як купол із ретроградною квадратною основою, побудований, на відміну від квадратного купола, так що квадратні та трикутні грані з’єднують основи, перетинаючись один з одним.
Стільники
Чотирисхилий купол у комбінації з деякими багатогранниками утворює неоднорідні стільники, якими можна заповнити простір.