У математицідіофантова геометрія — дослідження діофантових рівнянь за допомогою потужних методів алгебричної геометрії. У XX столітті окремі математики зрозуміли, що методи алгебричної геометрії - ідеальний засіб для вивчення цих рівнянь[1]. Діофантова геометрія є частиною ширшої галузі арифметичної геометрії .
Чотири теореми діофантової геометрії, які мають фундаментальне значення:[2]
У критичній рецензії на книгу Ленга Морделл написав:
Останнім часом розроблено потужні нові геометричні ідеї та методи, за допомогою яких знайдено та доведено важливі нові арифметичні теореми та відповідні результати, і деякі з них нелегко довести інакше. Крім того, спостерігалася тенденція одягати старі результати, їх розширення та докази в нову геометричну мову. Іноді, однак, повне значення результатів найкраще описується в геометричній обстановці. У цій книзі Ленг дуже добре пам’ятає про ці аспекти і, здається, не втрачає можливості для геометричної презентації. Це пояснює його назву «Діофантова геометрія»[4].
Він зазначає, що зміст книги переважно складається з версій теореми Морделла — Вейля[en], теореми Туе — Зігеля — Рота, теореми Зігеля, з трактуванням теореми Гільберта про незвідність[en] та її застосувань (у стилі Зігеля). Залишаючи осторонь проблеми загальності та абсолютно різного стилю, основна математична відмінність між двома книгами полягає в тому, що Ленг використав абелеві многовиди та запропонував доведення теореми Зігеля, тоді як Морделл зазначив, що доведення «має дуже складний характер» (стор. 263).
Хоча одні тоді поділяли цю точку зору (наприклад, Вейль, Тейт[en], Серр), легко забути, що інші не поділяли такої точки зору, що підтверджує рецензія Морделла на «Діофантову геометрію»[6].
Підходи
Одне рівняння визначає гіперповерхню, а системадіофантових рівнянь породжує загальний алгебричний многовидV над K; типове питання стосується природи множини V(K) точок на V з координатами в K, і, за допомогою функцій висоти[en], можна поставити кількісні питання про «розмір» цих розв'язків, а також якісні питання про те, чи існують будь-які точки, і якщо так, чи існує їх нескінченна кількість. Враховуючи геометричний підхід, розгляд однорідних рівнянь і однорідних координат є фундаментальним з тих же причин, що проєктивна геометрія є домінівним підходом у алгебричній геометрії. Отже, основним питанням є розв'язки в раціональних числах; але цілочисельні розв'язки (тобто точки ґратки) можна розглядати так само, як афінний многовид можна розглядати всередині проєктивного многовиду, який має додаткові точки на нескінченності.
Загальний підхід діофантової геометрії ілюструє теорема Фалтінгса (гіпотеза Морделла), яка стверджує, що алгебрична криваCродуg > 1 над раціональними числами має лише скінченну кількість раціональних точок. Першим результатом такого роду, можливо, була теорема Гільберта і Гурвіца, що стосується випадку g = 0.
Теорія складається як з теорем, так і з багатьох припущень і відкритих питань.
