Арифметична геометрія

Згідно з теоремою Фалтінгса, гіпереліптична крива, задана рівнянням${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)}$ має лише скінченну кількість раціональних точок (таких як точки ${\displaystyle (-2,0)}$ і ${\displaystyle (-1,0)}$).

У математиці арифметична геометрія — це наближене застосування методів алгебричної геометрії до задач теорії чисел^[1]. Арифметична геометрія зосереджена навколо діофантової геометрії, вивчення раціональних точок алгебричних многовидів^[2][3].

В абстрактніших термінах арифметичну геометрію можна визначити як дослідження схем скінченного типу^[en] над спектром кільця цілих чисел.

Огляд

Класичним об'єктом інтересу в арифметичній геометрії є раціональні точки: множини розв'язків системи поліноміальних рівнянь^[en] над числовими полями, скінченними полями, p-адичними полями або функціональними полями^[en], тобто полями, які не є алгебрично замкнутими, за винятком дійсних чисел. Раціональні точки можна безпосередньо схарактеризувати функціями висоти^[en], які вимірюють їх арифметичну складність^[4].

Структура алгебричних многовидів, визначених над неалгебрично замкнутими полями, стала центральною сферою інтересів, яка виникла з розвитком алгебричної геометрії. Етальна когомологія^[en] забезпечує топологічні інваріанти^[en] над скінченними полями, пов'язані з алгебричними многовидами^[5]. p-Адична теорія Ходжа^[en] дає інструменти для дослідження того, коли когомологічні властивості многовидів над комплексними числами поширюються на многовиди над p-адичними полями^[6].

Історія

XIX століття: рання арифметична геометрія

На початку XIX століття Карл Фрідріх Гаусс зауважив, що ненульові цілі розв'язки однорідних поліноміальних рівнянь із раціональними коефіцієнтами існують, якщо існують ненульові раціональні розв'язки^[7].

У 1850-х роках Леопольд Кронекер сформулював теорему Кронекера — Вебера, представив теорію дивізорів і встановив численні інші зв'язки між теорією чисел і алгеброю. Потім він сформулював свою «liebster Jugendtraum»^[en] («найдорожча мрія юності»), узагальнення, яку пізніше Гільберт висунув у модифікованій формі як його дванадцяту проблему, яка окреслює мету змусити теорію чисел працювати лише з кільцями, які є частками кілець многочленів над цілими числами^[8].

Початок-середина XX століття: алгебричні розробки та гіпотези Вейля

Наприкінці 1920-х років Андре Вейль продемонстрував глибокі зв'язки між алгебричною геометрією та теорією чисел у своїй докторській праці, яка привела до теореми Морделла — Вейля^[en], яка демонструє, що множина раціональних точок абелевого многовиду є скінченнопородженою абелевою групою^[9].

Сучасні основи алгебричної геометрії розробили на основі сучасної комутативної алгебри, включно з теорією нормування та теорією ідеалів, Оскар Зарицький та інші в 1930-х і 1940-х роках^[10].

У 1949 році Вайль висунув знакові гіпотези Вейля про локальні дзета-функції алгебричних многовидів над скінченними полями^[11]. Ці гіпотези заклали зв'язок між алгебричною геометрією та теорією чисел, що спонукало Александра Гротендіка в 1950-х і 1960-х роках переробити основи, використовуючи теорію пучків (разом із Жаном-П'єром Серром), а пізніше теорію схем^[12]. 1960 року Бернард Дворк^[en] довів одну з чотирьох гіпотез Вейля (раціональність локальної дзета-функції)^[13]. Гротендік розробив теорію етальної когомології і до 1965 року довів дві гіпотези Вейля (разом із Майклом Артіном^[en] і Жаном-Луї Вердьє^[en])^[5][14]. Останню з гіпотез Вейля (аналог гіпотези Рімана) остаточно довів 1974 року П'єр Делінь^[15].

Середина-кінець XX століття: розвиток модульності, p-адичних методів і далі

Між 1956 і 1957 роками Ютака Таніяма^[en] і Горо Шимура висунули гіпотезу Таніями — Шимури (тепер відому як теорема модулярності), яка пов'язує еліптичні криві з модульними формами^[16][17]. Цей зв'язок, зрештою, приведе до першого доведення^[en] великої теореми Ферма в теорії чисел за допомогою методів алгебричної геометрії (підняття модульності^[en]), які 1995 року розробив Ендрю Вайлс^[18].

У 1960-х роках Горо Шимура ввів многовиди Шимури^[en] як узагальнення модулярних кривих^[en][19]. Від 1979 року многовиди Шимури відіграють вирішальну роль у програмі Ленглендса^[en] як природне джерело прикладів для перевірки припущень^[20].

У статтях 1977 та 1978 років Баррі Мазур^[en] довів торсійну гіпотезу^[en], надавши повний список можливих торсійних підгруп еліптичних кривих над раціональними числами. Перше Мазурове доведення цієї теореми залежало від повного аналізу раціональних точок на деяких модулярних кривих^[21][22]. 1996 року Лоїк Мерель^[en] поширив доведення торсійної гіпотези на всі числові поля^[23].

1983 року Герд Фалтінгс довів гіпотезу Морделла, продемонструвавши, що крива роду, більшого від 1, має лише скінченну кількість раціональних точок (де теорема Морделла — Вейля демонструє лише скінченне породження множини раціональних точок на відміну від скінченності)^[24][25].

2001 року доведення локальних гіпотез Ленглендса для GLn^[en] ґрунтувалося на геометрії деяких многовидів Шимури^[26].

У 2010-х роках Петер Шольце розробив перфектоїдні простори^[en] та нові теорії когомології в арифметичній геометрії над p-адичними полями із застосуванням до представлень Галуа^[en] та деяких випадків гіпотези вагової монодромії^[27][28].

Див. також

• Арифметична динаміка^[en]
• Арифметика абелевих многовидів^[en]
• Гіпотеза Берча та Свіннертона-Даєра
• Модулі ріманової поверхні
• Модульний многовид Зігеля^[en]
• Теорема Зігеля про цілочислові точки^[en]
• Теорія категорій
• Фробеніоїд^[en]

Примітки

1. Sutherland, Andrew V. (5 вересня 2013). Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). Процитовано 22 березня 2019.
2. Klarreich, Erica (28 червня 2016). Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry. Процитовано 22 березня 2019.
3. Poonen, Bjorn (2009). Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). Процитовано 22 березня 2019.
4. Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. с. 43—67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
5. Grothendieck, Alexander (1960). The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. с. 103—118. MR 0130879.
6. Serre, Jean-Pierre (1967). Résumé des cours, 1965–66. Annuaire du Collège de France. Paris: 49—58.
7. Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations. Academic Press. с. 1. ISBN 978-0125062503.
8. Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. с. 773—774. ISBN 978-0-691-11880-2.
9. A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5.
10. Zariski, Oscar (2004). Abhyankar, Shreeram S.; Lipman, Joseph; Mumford, David (ред.). Algebraic surfaces. Classics in mathematics (вид. second supplemented). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58658-6. MR 0469915.
11. Weil, André (1949). Numbers of solutions of equations in finite fields. Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497—508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. ISSN 0002-9904. MR 0029393. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
12. Serre, Jean-Pierre (1955). Faisceaux Algebriques Coherents. The Annals of Mathematics. 61 (2): 197—278. doi:10.2307/1969915. JSTOR 1969915.
13. Dwork, Bernard (1960). On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 82 (3): 631—648. doi:10.2307/2372974. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372974. MR 0140494.
14. Grothendieck, Alexander (1995). Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L. Séminaire Bourbaki. Т. 9. Paris: Société Mathématique de France. с. 41—55. MR 1608788.
15. Deligne, Pierre (1974). La conjecture de Weil. I. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43 (1): 273—307. doi:10.1007/BF02684373. ISSN 1618-1913. MR 0340258.
16. Taniyama, Yutaka (1956). Problem 12. Sugaku (яп.). 7: 269.
17. Shimura, Goro (1989). Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections. The Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186—196. doi:10.1112/blms/21.2.186. ISSN 0024-6093. MR 0976064.
18. Wiles, Andrew (1995). Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443—551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Архів оригіналу (PDF) за 10 травня 2011. Процитовано 22 березня 2019. [Архівовано 2011-05-10 у Wayback Machine.]
19. Shimura, Goro (2003). The Collected Works of Goro Shimura. Springer Nature. ISBN 978-0387954158.
20. Langlands, Robert (1979). Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen. У Borel (ред.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. Т. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. с. 205—246.
21. Mazur, Barry (1977). Modular curves and the Eisenstein ideal. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33—186. doi:10.1007/BF02684339. MR 0488287.
22. Mazur, Barry (1978). with appendix by Dorian Goldfeld. Rational isogenies of prime degree. Inventiones Mathematicae. 44 (2): 129—162. Bibcode:1978InMat..44..129M. doi:10.1007/BF01390348. MR 0482230.
23. Merel, Loïc (1996). Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres [Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Inventiones Mathematicae (фр.). 124 (1): 437—449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. MR 1369424.
24. Faltings, Gerd (1983). Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (нім.). 73 (3): 349—366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935.
25. Faltings, Gerd (1984). Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae (нім.). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554.
26. Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Annals of Mathematics Studies. Т. 151. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09090-0. MR 1876802.
27. Fields Medals 2018. International Mathematical Union. Процитовано 2 серпня 2018.
28. Scholze, Peter. Perfectoid spaces: A survey (PDF). University of Bonn. Процитовано 4 листопада 2018.