Абстра́ктна або ви́ща а́лгебра — галузь математики, зосереджена на вивченні властивостей аксіоматично впроваджених алгебраїчних структур. В сучасній науковій літературі називається просто алгебра. Ознака «абстрактна» підкреслює, що об'єктами вивчання є абстрактні структури, такі як групи, кільця, поля і модулі, на відміну від алгебраїчних виразів, що вивчаються в елементарній «шкільній» алгебрі.
Приблизно до другої половини XIX століття в алгебраїчних дослідженнях більше уваги надавалося конкретним об'єктам, що вивчалися методами, спеціально пристосованими до ситуації, ніж загальним концепціям. Наведемо такі приклади:
Але згодом на перший план вийшли власне структури групи, кільця і т. ін. Це дозволяє розглядати, наприклад, будь-яку групу підстановок як абстрактну групу, тобто як множину з операціями, що задовільняє певній системі аксіом, і доводити загальні теореми про групи, які, зокрема, стосуються конкретної групи (Н. Абель, Е. Галуа). Саме впровадження загальної аксіоматичної точки зору на алгебраїчні об'єкти варто вважати початком абстрактної алгебри як незалежної дисципліни. Згодом були дани аксіоматичні означення поля, кільця, векторного простору, алгебри Лі тощо і було розпочато дослідження всіх цих структур.
Величезний внесок до розвитку абстрактної алгебри у 1890—1930 роках зробили Д. Гільберт, Е. Артін та Е. Нетер, що застосували аксіоматичний метод для вивчення комутативних кілець і модулів над ними і отримали низку потужних результатів. Ці дослідження з абстрактної алгебри, разом із деякими попередніми дослідженнями Л. Кронекера, Р. Дедекінда було вперше систематично піднесено у надзвичайно впливовій монографії «Сучасна алгебра» («Moderne Algebra») Ван дер Вардена, перше видання якої з'явилося в 1930—1931 роках.
Починаючи з роботи Д.Гільберта з теорії інтегральних операторів на початку XX століття і Дж. фон Неймана з кілець операторів у 1930 році, методи абстрактної алгебри знайшли плідне застосування в аналізі, а згодом і в інших галузях математики. Потреби нової фізики насамперед квантової теорії, спричинили як розповсюдження деяких алгебраїчних ідей поза межами алгебри, наприклад групи, операторів з некомутативним множенням, тобто некомутативного кільця, так і подальший розвиток самої алгебри.
Чимало досліджень в алгебрі за останні 40-50 років належать до кількох добре влаштованих основних галузей, таких як теорія груп, комутативна алгебра або теорія кілець. З новіших підрозділів абстрактної алгебри відзначимо алгебричну комбінаторику, що на цей час перетворилась на самостійну дисципліну, наближені до топології теорію операд, гомотопічну алгебру і, нарешті, теорію квантових груп, впроваджених В. Г. Дрінфельдом, порівняно новий розділ алгебри, що зазнав бурхливого розвитку протягом останніх двох десятиліть.
Завало, С. Т.; Левіщенко, С. С.; Пилаєв, В. В.; Рокицький, І. О. (1983). Алгебра і теорія чисел. Практикум: у 2-х частинах. Київ: Вища Школа. (укр.)
Іншими мовами
Charles C. Pinter. A Book of Abstract Algebra. — Second Edition (Dover Books on Mathematics). — Dover Publications, 2010. — 400 с. — ISBN 978-0486474175.(англ.)
I. N. Herstein. Topics in Algebra. — 2. — John Wiley & Sons, 1975. — 388 с. — ISBN 978-0471010906.(англ.)
Joseph J. Rotman. A First Course in Abstract Algebra. — 3. — Pearson, 2005. — 640 с. — ISBN 978-0131862678.(англ.)
Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. — 3 (Graduate Studies in Mathematics). — AMS, 2015. — 709 с. — ISBN 978-1470415549.(англ.)
Thomas W. Hungerford. Algebra. — 8th Edition (Graduate Studies in Mathematics). — Springer, 2003. — Т. 73. — 504 с. — ISBN 978-0387905181.(англ.)
David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. — 3 (Graduate Studies in Mathematics). — Wiley, 2003. — 944 с. — ISBN 978-0471433347.(англ.)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
