У дорослому футболі дебютував 1947 року виступами за «Кільмес». У 1949 році, посівши перше місце в другому аргентинському дивізіоні, «Кільмес» вийшов у Прімеру аргентинського чемпіонату. Дельяча виступав за «Кільмес» до 1951 року, взявши участь у 141 матчі чемпіонату.
У 1952 році Дельяча перейшов до клубу «Расінг» (Авельянеда) за 400 тисяч песо, за який він виступав до 1958 року, провівши за клуб 184 матчі і вигравши чемпіонат Аргентини в останній рік гри в команді. Більшість часу, проведеного у складі «Расінга», був основним гравцем команди. У 1953 році він знявся у фільмі про футболістів під назвою Син зірки[2].
1959 року перейшов до мексиканського клубу «Некакса», за який відіграв 6 сезонів. Завершив кар'єру футболіста виступами за команду «Некакса» у 1965 році.
Після цього Педро поїхав з командою і на чемпіонат світу 1958 року у Швеції. де Аргентина не вийшла з групи. Дельяча був капітаном команди команду протягом усіх трьох ігор — проти Німеччини, Північної Ірландії та Чехословаччини.
Всього протягом кар'єри у національній команді, яка тривала 6 років, провів у її формі 35 матчів[3].
Кар'єра тренера
Розпочав тренерську кар'єру відразу ж по завершенні кар'єри гравця, 1965 року, очоливши тренерський штаб клубу «Феррокаріль Оесте». Після цього тренував інші місцеві команди «Ланус» та «Сан-Лоренсо».
В результаті гравцем зацікавились у Європі і того ж року він очолив іспанський клуб «Сельта Віго», втім повторити успіхи за океаном Дельяча не зумів, команда балансувала на межі зони вильоту з Прімери і після 28 туру його було звільнено, коли команда здобула лише 7 перемог та 8 нічиїх[4].
В результаті 1974 року Педро повернувся у «Індепендьєнте», з яким 1975 року ще раз виграв Кубок Лібертадорес.
1978 року став головним тренером колумбійського «Мільйонаріоса» з Боготи, який теж привів до чемпіонського титулу.
Згодом протягом 1980—1981 років очолював тренерський штаб мексиканського клубу «Монтеррей», а 1986 року прийняв пропозицію попрацювати у клубі «Уракан» з Буенос-Айреса.
Останнім місцем тренерської роботи був мексиканський клуб «Сантос Лагуна», головним тренером команди якого Педро Дельяча був з 1992 по 1993 рік.
Помер 31 липня2010 року на 85-му році життя від хвороби Альцгеймера у геріатричній лікарні міста Вісенте-Лопес[5].