Вихованець футбольної академії «Рівер Плейта». У 2015 році він був включений в заявку основної команди. 21 листопада 2016 року в матчі проти «Ньюеллс Олд Бойз» він дебютував у аргентинській Прімері[3]. 22 червня 2017 року в поєдинку проти «Альдосіві» він забив свій перший гол за «Рівер Плейт»[4]. Всього у рідній команді Паласіос провів 4 сезони, вигравши за цей час три Кубка Аргентини, дві Рекопи Південної Америки та два Суперкубка Аргентини. Крім того в кінці 2018 року він виграв з командою Кубок Лібертадорес, найпрестижніший клубний континентальний трофей, зігравши в тому числі в першому фінальному матчі проти головного суперника, «Боки Хуніорс» (2:2)[5].
5 жовтня 2020 року Мартінес Кварта підписав п'ятирічний контракт із італійським клубом «Фіорентина»[6]. 25 жовтня в матчі проти «Удінезе» (3:2) він дебютував у Серії А, замінивши травмованого співвітчизника Хермана Песселью[7]. 7 березня 2021 року забив свій перший гол у складі «фіалок» в матчі чемпіонати проти «Парми» (3:3)[8].
