Кардинальне число |
Формула |
![{\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052dbedfad7fde3714cd06af07da387e24ba1083) |
Підтримується Вікіпроєктом |
Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Є кількістю |
елемент |
Кардинальне число у Вікісховищі |
Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини
позначається як
або
.
Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку".
Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.
Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.
Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:
Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
- Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
- Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
- Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора — Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
- Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.
Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|.
Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.
Операції над кардинальними числами
Додавання
Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B, де А та В — довільні множини, що не перетинаються такі, що a=|A|, b=|B|. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.
Множення
Добутком
двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини
, де a=|A|, b=|B|, А та В — довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.
Піднесення до степеня
Степенем
кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини
, де a=|A|, b=|B|.
Арифметика кардинальних чисел
Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:
Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:
Мають місце рівності:
Істинні наступні твердження:
1) якщо
і
, то
2) якщо
, то
3) якщо
, то
4) якщо
, то
Теорема 1.
для будь-якої множини А.
Теорема 2.(Г.Кантор)
для будь-якого кардинального числа а.
Приклади кардинальних чисел
- 0 (нуль) та натуральні числа — ними записуються потужності скінченних множин. Наприклад, порожня множина ∅ має потужність 0, а множина
— очевидно 3.
(алеф-нуль) — потужність множини
, тобто множини всіх натуральних чисел. Це найменше нескінченне кардинальне число. Множину з потужністю
(тобто множину, рівнопотужну множині натуральних чисел) називають зліченною, прикладами зліченних множин є:
— множина всіх натуральних чисел (очевидно);
- будь-яка нескінченна підмножина з
(вона нескінченна, тому її кардинальне число нескінченне, але водночас вона вкладена в
, тому її потужність не перевищує
);
— множина всіх цілих чисел (їх можна перелічити, наприклад, отак: 0, −1, 1, −2, 2, …);
(множина пар натуральних чисел), а також
і будь-яка множина
при
(елементи таких множин можна пронумерувати натуральними числами);
— множина всіх раціональних чисел (
).
— кардинальне число множини
, тобто множини всіх дійсних чисел. Можна довести, що
(при цьому за теоремою Кантора з цього випливає
). Множину з потужністю
(тобто множину, рівнопотужну множині дійсних чисел) називають континуумом або континуальною множиною (водночас саме число
теж називають словом континуум), прикладами континуальних множин є:
— множина всіх дійсних чисел (очевидно);
- будь-який проміжок ненульової довжини з
, наприклад:
,
чи
(довільно малий інтервал можна співставити всій множині дійсних чисел певною функцією, наприклад тангенсом);
(множина пар дійсних чисел),
й інші
(при
.
(алеф-один, алеф-два тощо) — наступні після
у порядку зростання кардинальні числа. Якщо приймати континуум-гіпотезу, то
; інакше можна лише сказати, що
. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
, де
— довільний ординал. Приклади для нескінченних ординалів:
,
,
,
тощо.
Гіпотеза континуума
Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число
якої розташоване між
(кардиналом множини натуральних чисел) та
(кардиналом множини дійсних чисел), тобто
.
Якщо приймати континуум-гіпотезу, то
; інакше можна лише сказати, що
.
Див. також
Джерела