Симетрична різниця
Формула
A
△ △ -->
B
=
(
A
∖ ∖ -->
B
)
∪ ∪ -->
(
B
∖ ∖ -->
A
)
=
{
x
|
x
∈ ∈ -->
A
∨ ∨ -->
˙ ˙ -->
x
∈ ∈ -->
B
}
{\displaystyle \displaystyle A\mathbin {\vartriangle } B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=\{x|x\in A\mathbin {\dot {\lor }} x\in B\}}
Позначення у формулі
△ △ -->
{\displaystyle \mathbin {\vartriangle } }
,
∖ ∖ -->
{\displaystyle \setminus }
,
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
і
∨ ∨ -->
˙ ˙ -->
{\displaystyle \mathbin {\dot {\lor }} }
Нотація
⊖[d] [1]
Підтримується Вікіпроєктом
Вікіпедія:Проєкт:Математика
Симетрична різниця у Вікісховищі
Симетрична різниця двох множин — теоретико-множинна операція, результатом якої є нова множина, що включає всі елементи вихідних множин, які не належать одночасно обом вихідним множинам. Іншими словами, якщо є дві множини A і B, їх симетрична різниця є об'єднання елементів A, що не входять в B, з елементами B не членами A. На письмі для позначення симетричної різниці множин A і B використовується позначення A △ B.
В математиці та теорії множин , симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.
Визначення
Симетричну різницю можна визначити двома способами:
симетрична різниця двох заданих множин А та В — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи першої множини, які не входять в другу множину, а, також ті елементи другої множини, які не входять в першу множину:
(
A
△ △ -->
B
)
=
(
A
∖ ∖ -->
B
)
∪ ∪ -->
(
B
∖ ∖ -->
A
)
{\displaystyle (A\triangle B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}
симетрична різниця двох заданих множин A і B — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи обох множин, які не є загальними для двох заданих множин.
(
A
△ △ -->
B
)
=
(
A
∪ ∪ -->
B
)
∖ ∖ -->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
{\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}
Властивості
Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані ;
Симетрична різниця є комутативною :
A
△ △ -->
B
=
B
△ △ -->
A
;
{\displaystyle A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;}
Симетрична різниця є асоціативною :
(
A
△ △ -->
B
)
△ △ -->
C
=
A
△ △ -->
(
B
△ △ -->
C
)
;
{\displaystyle \left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);}
Перетин множин є дистрибутивним відносно симетричної різниці:
A
∩ ∩ -->
(
B
△ △ -->
C
)
=
(
A
∩ ∩ -->
B
)
△ △ -->
(
A
∩ ∩ -->
C
)
;
{\displaystyle A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);}
Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:
A
△ △ -->
∅ ∅ -->
=
A
;
{\displaystyle A\bigtriangleup \varnothing =A;}
Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці:
A
△ △ -->
A
=
∅ ∅ -->
;
{\displaystyle A\bigtriangleup A=\varnothing ;}
Булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою ;
(
A
1
∩ ∩ -->
A
2
)
△ △ -->
(
B
1
∩ ∩ -->
B
2
)
⊂ ⊂ -->
(
A
1
△ △ -->
B
1
)
∪ ∪ -->
(
A
2
△ △ -->
B
2
)
;
{\displaystyle \left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}
(
A
1
∪ ∪ -->
A
2
)
△ △ -->
(
B
1
∪ ∪ -->
B
2
)
⊂ ⊂ -->
(
A
1
△ △ -->
B
1
)
∪ ∪ -->
(
A
2
△ △ -->
B
2
)
;
{\displaystyle \left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}
(
A
1
∖ ∖ -->
A
2
)
△ △ -->
(
B
1
∖ ∖ -->
B
2
)
⊂ ⊂ -->
(
A
1
△ △ -->
B
1
)
∪ ∪ -->
(
A
2
△ △ -->
B
2
)
;
{\displaystyle \left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}
Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин
(
A
△ △ -->
B
)
∪ ∪ -->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
=
A
∪ ∪ -->
B
{\displaystyle (A\bigtriangleup B)\cup (A\cap B)=A\cup B}
;
Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:
A
△ △ -->
B
=
(
A
∖ ∖ -->
B
)
∪ ∪ -->
(
B
∖ ∖ -->
A
)
{\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}
(
A
△ △ -->
B
)
=
(
A
∪ ∪ -->
B
)
∖ ∖ -->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
{\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}
Приклади
Діаграма Венна для симетричної різниці A ΔB
1. Нехай
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
,
B
=
{
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
.
{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.}
Тоді
A
△ △ -->
B
=
{
1
,
2
,
6
,
7
}
.
{\displaystyle A\,\triangle \,B=\{1,2,6,7\}.}
2. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх осіб жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.
Див. також
Примітки
Література