Кавані народився в Сальто. Там він, слідом за батьком і старшим братом Вальтером почав футбольні виступи. Його швидко помітили клуби зі столиці, але молодий гравець не поспішав з переходом:
Батьки завжди допомагали мені слушною порадою. У віці 12 років мене запрошували в багато клуби з Монтевідео, але батько, який непогано грав у футбол за ряд уругвайських клубів, сказав мені: ще рано, синку, твій час прийде"[5].
У 12 років Едінсон переїхав у Монтевідео, де його взяли в молодіжну команду клубу «Данубіо». В основній команді він дебютував у 2006 році й виграв з клубом апертуру чемпіонату Уругваю.
Після вдалих виступів на міжнародних турнірах гравцем зацікавилися деякі провідні клуби Європи, такі як «Ювентус» і «Мілан».
«Палермо»
29 січня 2007 року президент «Палермо» Мауріціо Дзампаріні оголосив про підписання багатообіцяючого уругвайського футболіста. У «Палермо» Кавані дебютував 11 березня 2007 року в домашньому матчі проти «Фіорентіни», вийшовши на заміну на 55-ій хвилині п'ятнадцять хвилин по тому відзначився першим голом у лізі[5].
У лютому 2010 року Кавані висловив бажання покинути «Палермо» і перейти в «Ювентус» або «Челсі»[6], однак у березні 2010 року продовжив договір з «Палермо» до 2014 року зі щорічною заробітною платою в 1 млн євро[7]. Згідно з контрактом, якщо інший клуб прийме рішення викупити контракт гравця, він буде змушений виплатити суму в 25 млн євро[8]. У травні 2010 року казанський «Рубін» і донецький «Шахтар» зробили пропозиції про покупку Кавані[9]. У червні 2010 року англійський клуб «Манчестер Сіті» запропонував за перехід Кавані 19 млн євро[10]. 29 червня Дзампаріні оголосив, що Кавані, разом з партнером по команді, Симоном К'яра, переходить у клуб «Тоттенгем Готспур», який заплатив за трансфер обох футболістів 35 млн євро[11]. Керівництво англійського клубу спростувало слова Дзампаріні[12].
«Наполі»
17 червня 2010 року президент «Наполі» Ауреліо Де Лаурентіс оголосив про перехід Кавані до лав неаполітанського клубу[13][14]. Гравець узятий в річну оренду в «Палермо» за 5 млн євро з подальшим викупом контракту за 12 млн[15]. Особистий контракт уругвайського нападника підписаний до 2015 року з щорічною зарплатою 1,35 млн € без урахування різних бонусів[15]. Плюс, якщо уругваєць заб'є понад 20 голів у сезоні він отримає 100 тис. євро, якщо понад 30, то 200 тис.[16]. У новій команді уругваєць відразу став забивати: у перших трьох турах серії А він забив по голу[17]. 15 грудня Кавані забив гол у ворота «Стяуа» у Лізі Європи УЄФА, який приніс його клубу перемогу і вивів команду в плей-офф турніру[18]. 9 січня2011 року Кавані забив три м'ячі у ворота «Ювентуса», причому всі три рази забивав головою[19]. 30 січня Едінсон знову зробив хет-трик, забивши голи у ворота «Сампдорії»[20]. 3 квітня Кавані в черговий раз забив три м'ячі в одному матчі, принісши перемогу з рахунком 4:3 над «Лаціо»[21].
«Парі Сен-Жермен»
16 липня 2013 року перейщов до французького клубу «Парі Сен-Жермен», уклавши зі столичним клубом п'ятирічний контракт. Сума трансферу оцінюється у 63 мільйони євро, що на той час стало рекордом для французьких клубів та шостим найбільшим трансфером в історії світового футболу.
Зірковий нападник відразу став ключовою фігурою у нападі ПСЖ, склавши ударну пару форвардів зі Златаном Ібрагімовичем. При цьому уругваєць поступався у результативності своєму шведському партнеру по команді. Після ж переходу останнього влітку 2016 року до «Манчестер Юнайтед», Кавані значно покращив власну результативність і в сезоні 2016/17 став не лише найефективнішим нападником паризької команди, але й здобув титул найкращого бомбардира французької першості, забивши у 36 іграх турніру 35 голів.
У серпні 2017 року з його передачі новобранець ПСЖ Неймар забив свій перший гол за нову команду в матчі проти «Генгама».[22]
27 січня 2018 року у матчі проти «Монпельє» забив свій 157-ий гол за паризький клуб, що дозволило йому стати найкращим бомбардиром ПСЖ в історії[23][24].
У грі 32-го туру чемпіонату Франції проти «Сент-Етьєна» не зумів вразити порожні ворота після пасу від Анхеля Ді Марії. Гра завершилася внічию з рахунком 1:1. Попри подібні промахи, а також конкуренцію в атакувальній лінії ПСЖ, яка посилилася з приходом зіркового бразильця Неймара, в сезоні 2017/18 Кавані забив 28 голів в Лізі 1, чого виявилося достатньо, аби вдруге поспіль стати найкращим бомбардиром змагання.
«Манчестер Юнайтед»
5 жовтня 2020 року Кавані приєднався до «Манчестер Юнайтед»[25]. Угода була вкладена на один рік з можливостю на продовження ще на рік[26]. Едінсон отримав престижний сьомий номер на футболці[27]. Дебютував в Прем'єр-Лізі 24 жовтня, коли вийшов на заміну проти «Челсі», матч завершився з рахунком 0–0[28]. 7 листопада забив перший гол за клуб проти «Евертона» на виїзді, а «манкуніанці» перемогли з рахунком 3–1[29].
10 травня 2021 року Кавані офіційно продовжив свою згоду з манчестерським клубом ще на рік[30].
Не дивлячись на те, що Едінсон вже провів першу гру сезону 2021–22 проти «Вулвергемптона» з сімкою на спині, він погодився на 21-ий номер (який він носить в збірній Уругваю) після трансферу Кріштіану Роналду в клуб[31]. Перший гол в сезоні забив 30 жовтня проти «Тоттенгема», який команда виграла 3–0, а гольову передачу йому віддав якраз таки Роналду[32].
6 лютого 2008 року він зіграв свій перший матч за дорослу збірну Уругваю проти Колумбії і відразу ж забив свій перший гол. Після цього швидко став основним нападником уругвайців, склавши атакувальний дует з Луїсом Суаресом.
Взяв участь у чемпіонаті світу 2010 року, де взяв участь у всіх, за виключенням одного, матчах збірної, щоправда відзначившись лише одним голом у шести матчах.
Згодом був учасником Кубка Америки 2011, здобувши того року титул континентального чемпіона, чемпіонаті світу 2014, Кубка Америки 2015 і Кубка Америки 2016. На цих виликих турнірах сукпно взяв участь у 14 матчах, проте незмінно мав проблеми з результативністю, відзначившись лише одним забитим голом — у програному 1:3 матчі проти Коста-Рики на груповому етапі ЧС-2014.
Попри низьку результативність у фінальних частинах великих турнірів регулярно відзначався голами за Уругвай у товариських матчах та іграх кваліфікаційних турнірів. Наприкінці 2016 року забив свій 37-ий м'яч у формі збірної, перевершивши таким чином гольовий здобуток Дієго Форлана. 26 березня 2018 року провів свою соту гру за уругвайську національну команду, в якій забив свій 42-й гол у її складі.
2 червня 2018 року був очікувано включений до заявки збірної Уругваю для участі у своїй третій світовій першості — чемпіонаті світу 2018 року в Росії.
Свій перший гол на турнірі забив у 3-му турі групового етапу у ворота збірної Росії (3:0). У матчі 1/8 фіналу проти збірної Португалії відзначився дублем, що дозволило уругвайцям перемогти діючих чемпіонів Європи і пройти до наступного раунду (2:1)[33]. Через травму, отриману у тому матчі, не зміг допомогти збірній у чвертьфінальній грі проти збірної Франції, де уругвайці мінімально поступилися майбутнім чемпіонам світу (1:0). Загалом провів на турнірі 4 матчі і забив 3 голи, ставши найкращим бомбардиром своєї збірної.
Станом на березень 2022 року із 54-ма забитими м'ячами є одним з найкращих бомбардирів в історії збірної Уругваю, поступаючись лише своєму партнеру Луїсу Суаресу.
Прізвиськом Кавані, «El Matador», названа піца в Неаполі[36].
Особисте життя
Кавані одружений. Дружина — Марія:
«Я познайомився з Марією ще в Сальто. Наші батьки дружили. Вони разом грали за один клуб — „Поліспортіво“ Сальто — тільки мій у футбол, а її — в баскетбол».[5]