Браян Родрігес Браво народився 2000 року в місті Транкуерас, та є вихованцем футбольної школи клубу «Пеньяроль». Дорослу футбольну кар'єру розпочав 2018 року в основній команді того ж клубу, в якій грав до 2019 року, взявши участь у 18 матчах чемпіонату, та став у 2018 році чемпіоном Уругваю.
У 2019 році Браян Родрігес пеейшов до клубу МЛС«Лос-Анджелес», у складі якого цього ж року став переможцем Supporters' Shield. У 2021 році нетривалий час грав на правах оренди у складі іспанської команди «Альмерія», після чого повернувя до клубу «Лос-Анджелес», де грав до 2022 року.
У 2022 році уругвайський футболіст перейшов до мексиканського клубу «Америка». У складі команди двічі став чемпіоном Мексики, а також володарем кубків Чемпіон чемпіонів і Campeones Cup. Станом на 7 жовтня 2024 року відіграв за команду з Мехіко 60 матчів в національному чемпіонаті.
Виступи за збірні
2016 року Браян Родрігес Браво дебютував у складі юнацької збірної Уругваю, загалом на юнацькому рівні взяв участь у 3 іграх. Протягом 2018—2019 років залучався до складу молодіжної збірної Уругваю. На молодіжному рівні зіграв у 19 офіційних матчах, забив 6 голів.