பிரம்மகுப்தர்(Brahmagupta ) 598 முதல் 668 வரையிலான காலப்பகுதியில் வாழ்ந்த ஓர் இந்தியக் கணிதவியலாளர் மற்றும் வானியல் வல்லுநர் ஆவார். கணிதவியல் மற்றும் வானியல் பற்றிய இரண்டு பண்டைய படைப்புகளின் ஆசிரியராக அவர் விளங்கினார். பிரம்மசுபுட சித்தாந்தம் (628) என்ற கோட்பாடுகள் குறித்த ஆய்வுக் கட்டுரையும் மற்றும் கண்டகாத்யகம் (665) என்ற தத்துவார்த்த நூலும் அவரால் இயற்றப்பட்டு சிறப்பு பெற்ற நூல்களாகும். இராசத்தான் மாநிலத்திலுள்ள பின்மாலில் பிரம்மகுப்தர் பிறந்ததாக அறியப்படுகிறது [1].
பிரம்மகுப்தர் முதலில் பூச்சியத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளை வழங்கினார். பிரம்மகுப்தரால் இயற்றப்பட்ட நூல்கள் சமசுகிருதத்தில் நீள்சதுர வசனத்தில் இயற்றப்பட்டன. இந்திய கணிதத்தில் இவ்வாறு பயன்படுத்துவது ஒரு பொதுவான பழக்கமாக இருந்தது. எந்த ஓர் ஆதாரமும் வழங்கப்படாததால், பிரம்மகுப்தரின் முடிவுகள் எவ்வாறு பெறப்பட்டன என்பது அறியப்படவில்லை[2].
வாழ்க்கையும் தொழிலும்
598-ல் தான் பிறந்ததாக பிரம்மகுப்தர் தனது சொந்த அறிக்கையில் தெரிவித்துள்ளார். வடக்கு குசராத்தில் ஆட்சி செய்த சாபா வம்ச ஆட்சியாளரான வியாக்ரகாமுக்கா காலத்தில் பிரம்மகுப்தர் பின்மாலில் வாழ்ந்தார். யிசுனுகுப்தாவின் மகனான இவர் சைவ சமயத்தைச் சேர்ந்தவர் ஆவார் [3]. பிரம்மகுப்தர் பில்லாமாலாவில் பிறந்தார் என்று பெரும்பாலான அறிஞர்கள் கருதினாலும் அதற்கு எந்தவிதமான உறுதியான ஆதாரமும் இல்லை. எனினும், அவரது வாழ்க்கை ஒரு நல்ல பகுதியாக அங்கு வேலை செய்து வாழ்ந்தார். பிருதுதகா சுவாமின் என்ற பிற்கால வர்ணனையாளர், பில்லாமாலாவிலிருந்து வந்த ஆசிரியர் என்ற பொருளில் பில்லாமாலாச்சாரியா என்று பிரம்மகுப்தரை அழைத்தார் [4]. முல்தான் அல்லது அபு பிராந்தியத்திலிருந்து பிரம்மகுப்தர் வந்தவராக இருக்கலாமென்று சமூகவியலாளரான கி.எசு. கர்யி கருதுகிறார் [5].
புகழ்பெற்ற சீன மதகுருவும் கல்வியாளருமான யுவான்சுவாங் பில்லாமாலாவை பிலோமோலோ என்று குறிப்பிடுகிறார். மேற்கிந்தியாவின் இரண்டாவது பெரிய அரசமரபான கூர்சரதேசத்தின் தலைநகரமாக பில்லாமாலா இருந்ததாக அவர் குறிப்பிட்டுள்ளார். நவீனைந்தியாவிலுள்ள தெற்கு இராசத்தானும் வடக்கு குசராத்தும் சேர்ந்த பகுதியே பண்டைய கூர்சர தேசமாகும். இத்தலைநகரம் கணிதம் மற்றும் வானியலுக்கான ஒரு கற்றல் மையமாக இருந்தது. இந்தக் காலகட்டத்தில் இந்தியாவில் இருந்த முக்கியமான நான்கு வானியல் பள்ளிக்கூடங்களில் ஒன்றாக இருந்த பிரம்மபக்சா பள்ளியில் படித்து பிரம்மகுப்தர் ஒரு வானியல் வல்லுநராக வெளிவந்தார். இந்திய வானியலின் ஐந்து பாரம்பரிய சித்தாந்தங்களையும் பிரம்மகுப்தர் ஆய்வு செய்தார். மேலும், இந்திய வானியல் வல்லுநர்களான ஆர்யபட்டா I, லதாதேவா, பிரடையூம்னா, வராகமிகிரா, சிம்கா, சிரிசேனா, விஜயநந்தன் மற்றும் விசுணுசந்த்ரா போன்ற மற்ற வானியலாளர்களின் படைப்புகளையும் பிரம்மகுப்தர் ஆய்வு செய்தார் [4].
628 ஆம் ஆண்டில் பிரம்மகுப்தருக்கு 30 வயதாக இருந்தபோது பிரம்மசுபுட சித்தாந்தம் என்ற நூலை உருவாக்கினார். பிரம்மபக்சா பள்ளியில் இவர் பெற்ற சித்தாந்தத்தின் திருத்தப்பட்ட பதிப்பு இந்நூல் என்று நம்பப்படுகிறது. தனது நூலில் பிரம்மகுப்தர் அசல் தன்மையை இணைத்துள்ளதாகவும், கணிசமான அளவு புதிய பொருளைச் சேர்த்துள்ளதாகவும் அறிவியலாளர்கள் கூறுகின்றனர். இந்த நூலில் ஆர்யா மீட்டரில் 1008 வசனங்கள் கொண்ட 24 அத்தியாயங்கள் உள்ளன. வானியலுக்கான ஒரு சிறந்த நூலாக இது கருதப்படுகிறது. ஆனால் இதில் கணிதத்தின் முக்கிய அத்தியாயங்களான இயற்கணிதம், வடிவியல், முக்கோணவியல், படிமுறைத்தீர்வு போன்ற முக்கியப் பிரிவுகள் இடம் பெற்றிருந்தன. பிரம்மகுப்தரின் புதிய கருத்துக்கள் இப்பிரிவுகளில் இடம் பெற்றிருப்பதாகக் கருதப்படுகிறது [4][6][7].
பின்னர், பிரம்மகுப்தர் உச்சயினிக்குச் சென்றார். இந்நகரமும் வானியலுக்கு ஒரு முக்கிய மையமாக இருந்தது. 67 ஆவது வயதில் இந்திய மாணவர்களின் நடைமுறை கையேடான கண்டகாத்யகம் என்ற தனது அடுத்த புகழ்பெற்ற படைப்பை உருவாக்கினார் [8].
சர்ச்சைகள்
பிரம்மகுப்தர் விஞ்ஞான வானியலாளர்களின் போக்கைக் குறித்து ஒரு பெரும் விமர்சனத்தை முன்வைத்தார். அவருடைய பிரம்மசுபுட சித்தாந்தம் இந்திய கணிதவியலாளர்களுக்கிடையில் மிகத் துல்லியமான சீர்திருத்தங்களைக் காட்டுகிறது. கணிதம் கணிதவியலைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக வியாபார உலகில் பயன்படுத்தப்படுவது உலகில் முதன்மையாக இருந்தது. பிரம்மகுப்தாவின் கணிதம் இத்தகைய கருத்து வேறுபாடுகளுக்கு உட்படாமல் வானியல் அளவுருக்கள் மற்றும் கோட்பாடுகளை விளக்கியது [9]. போட்டியாளர்களின் கோட்பாடுகளின் முதல் பத்து வானியல் அத்தியாயங்கள் முழுவதும் பிரதிபலிக்கின்றன. பதினோராவது அத்தியாயம் முற்றிலுமாக இந்த கோட்பாடுகளை விமர்சிப்பதற்காகவே உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. பனிரெண்டு மற்றும் பதினெட்டாம் அத்தியாயங்களில் எந்தவொரு விமர்சனமும் செய்யப்படவில்லை [9].
வரவேற்பு
பிரம்மகுப்தர் அவரது இனத்தின் மிகப் பெரிய அறிவியலாளர்களில் ஒருவர் என்றும் அவரது காலத்தின் மிகப்பெரிய விஞ்ஞானிகளில் ஒருவர்" என்றும் அறிவியல் வரலாற்றாசியரான சியார்ச்சு சார்டன் குறிப்பிட்டார் [8]. பிரம்மகுப்தரின் கணித முன்னேற்றங்களை உச்சயனியில் தொடர்ந்து கொண்டு சென்ற வம்சாவளியைச் சேர்ந்த இரண்டாம் பாசுகரா, பிரம்மகுப்தரை கணிதவியலாளர்களின் வட்டத்தில் இவர் ஒரு மாணிக்கம் என்ற பொருளில் கன்னிகா-சக்ரா-சுடமணி என்று விவரித்துள்ளார். சதுர்வேத பிரிதுடுகா சுவாமி பிரம்மகுப்தரின் சிறந்த இரு படைப்புகளுக்கும் விளக்க உரை எழுதினார். எளிமையான மொழியில் கடினமான வசனங்களை விளக்கி கூடுதலாக விளக்கப்படங்களைச் சேர்த்தார். 8 மற்றும் 9 ஆம் நூற்றாண்டுகளில் வாழ்ந்த லல்லா மற்றும் பட்டோபாலா ஆகியோர் கண்டகாத்யகம் நூலுக்கு விளக்க உரை எழுதினர் [10]. 12 ஆம் நூற்றாண்டில் மேலும் விரிவுரைகள் தொடர்ந்து எழுதப்பட்டன [8].
பிரம்மகுப்தா இறந்த சில பத்தாண்டுகளுக்குப் பின்னர் 712 ம் ஆண்டில் சிந்து மாகாணம் அரபு கலிபாத்து ஆட்சியின் கீழ் வந்தது. கூர்சர தேசத்திற்கு பயணக்குழுக்கள் அனுப்பப்பட்டன. பில்லாமாலா பேரரசு அழிக்கப்பட்டதாக தெரிகிறது, ஆனால் உச்சயினியின் மீது தொடுக்கப்பட்ட தாக்குதல்களுக்கு பதிலடி கொடுக்கப்பட்டது. காலிபாவின் அல்-மன்சூர் அரசாங்கத்திற்கு சிந்துவிலிருந்து ஒரு தூதரகம் கிடைக்கப் பெற்றது, இதில் இடம்பெற்றிருந்த கனகா என்ற சோதிடர் பிரம்மகுப்தர் பிரம்மகுதரின் வானவியல் நூல்களின் சாரம்சத்தைக் கொண்டு வந்தார் (ஒருவேளை மனப்பாடம் செய்து கொண்டு வந்ததாகவும் இருக்கலாம்). பிரம்மகுப்தரின் நூல்கள் அல்-மன்சூரின் அரசவையிலிருந்த ஒரு வானியலாளரான முகம்மத் அல்-பாசாரி என்பவரால் அரபு மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. உடனடியாக நூல்களில் பயன்படுத்தப்பட்டிருந்த தசம எண் முறை பரவலாக்கப்பட்டது. கணிதவியலாளர் அல்-குர்விசுமி என்பவர் இந்தியக் கணிதவியலில் கூட்டல் கழித்தல் என்ற எழுதினார். இது 13 ஆம் நூற்றாண்டில் லத்தீன் மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. இந்த நூல்களின் மூலம் தசம எண் முறை மற்றும் பிரம்மகுப்தரின் வழிமுறைகளும் கணிதத்திற்காக உலகம் முழுவதும் பரவின. அல் பாசாரியின் பதிப்பிலிருந்து உள்வாங்கி அல்-குவாரிமியும் தனது சொந்த பதிப்பை எழுதினார், தாலமிக் கூறுகளை நுலில் இணைத்தார். இந்திய வானியல் கருத்துகள் நூற்றாண்டுகள் கடந்து உலகில் வலம் வந்தன. இடைக்கால இலத்தீன் நூல்களிலும் இக்கருத்துகள் இடம்பெற்றன [11][12][13].
கணிதத்தில் இயற்கணிதச் சமன்பாடான ஒருபடிச் சமன்பாடு அல்லது நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு உரிய ஒரு தீர்வை பிரம்மகுப்தர் பிரம்மசுபுட சித்தாந்தம் என்ற நூலின் பதினெட்டவது அத்தியாயத்தில் கொடுத்துள்ளார்.
எண் கணிதம்
கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்ற நான்கு அடிப்படைக் கணித நடவடிக்கைகள் பிரம்மகுப்தருக்கு முன்பே பல கலாச்சாரங்களில் அறியப்பட்டுள்ளது. இந்த தற்போதைய அமைப்பு இந்து அரபு எண் முறைமையை அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது. பிரம்மகுப்தரின் பிரம்மசுபுடு சித்தாந்தத்தில் இடம்பெற்றுள்ளது. இந்நூலில் பெருக்கல் செயல்பாடு கோமுத்திர்க்கா என்ற பெயரால் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. நூலின் பன்னிரண்டாவது அத்தியாயத்தின் தொடக்கத்தில் கணக்கீடுகள், பின்னங்கள் போன்ற விவரங்களை பிரம்மகுப்தர் விளக்கியுள்ளார். அடிப்படைக் கணிதச் செயல்பாடுகளை தெரிந்து கொள்ள விரும்பும் வாசகர் வர்க்கமூலம் கண்டறியும் வழியையும் பிரம்மகுப்தர் விளக்கியுள்ளார். மேலும் கணம் மற்றும் கணமூலம் கண்டறிவதற்கான விதிமுறைகளையும் விவரிக்கின்றார். பின்னங்களை இணைப்பது தொடர்பான ஐந்து வகை விதிகளும் இங்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; மற்றும் a/c − b/d × a/c = a(d − b)/cd.[14]
தொடர்கள்
பிரம்மகுப்தர் பின்னர் முதல் சில முழு எண்களீன் வர்கங்கள் மற்றும் கணங்களின் கூடுதல் தொகையைக் கொடுக்கிறார்[15].
பூச்சியம்
பூச்சியம் தொடர்பான கருத்துகளை முறைப்படுத்தியவர்களில் முதலானவர் பிரம்மகுப்தர் என்கிறார்கள். நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்களுடன் பூச்சியம் தொடர்பான விதிகளை இவர் கூறியுள்ளார். ஒரு நேர்மறை எண்ணுடன் பூச்சியத்தைக் கூட்டினால் விடை நேர்மறையாகவே இருக்கும் என்றும், ஒரு எதிர்மறை எண்ணுடன் பூச்சியத்தைக் கூட்டினால் விடை எதிர்மறை எண்ணாகவே இருக்கும் என்றும் கூறியுள்ளார். பாபிலோனியர்கள் போல இடநிரப்பியாகவோ, ஒரு எண்ணுக்கு பதிலாக பிரதியிடும் குறியீடாகவோ புச்சியத்தைக் கருதாமல் அதை ஒரு எண்ணாகக் கருதவேண்டும் என்று முதன்முதலாக பிரம்மசுபிடு சித்தாந்தத்தில் கூறப்பட்டுள்ளது. நூலின் பதினெட்டாம் அத்தியாயத்தில், பிரம்மகுப்தர் எதிர்மறை எண்களின் கூட்டல், கழித்தல் பற்றி விவரிக்கிறார் [16]. பூச்சியத்தின் பெருக்கல் கணக்கீடுகள் பற்றியும் பிரம்மகுப்தரின் நூலில் காணப்படுகிறது [16]. பூச்சியத்தின் வகுத்தல் கணக்கீடுகள் பற்றிய பிரம்மகுப்தரின் வழிமுறைகள் நவீன வகுத்தல் முறைகளில் இருந்து மாறுபடுகின்றன.
பிரம்மகுப்தரின் தேற்றம்
வடிவவியலில், ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டினால், அந்த நாற்கரத்தின் பக்கத்தின் செங்குத்துக்கோடு மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி வழியாகச் சென்றால், அக்கோடு அந்த நாற்கரத்தின் எதிர்ப்பக்கத்தை இரு சரிபாதியாக வெட்டும் [17]. பிரம்மகுப்தர் கண்டறிந்த காரணத்தால் இத்தேற்றம் பிரம்மகுப்தர் தேற்றம் எனப்படுகிறது [18].
↑Sachau, Edward C. (2013), Alberuni's India, Routledge, p. 156, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்978-1-136-38357-1, Brahma-siddhānta, so called from Brahman, composed by Brahmagupta, the son of Jishnu, from the town of Bhillamāla between Multān and Anhilwāra, 16 yojana from the latter place (?)
↑Bhattacharyya 2011, ப. 185: "Brahmagupta, one of the most celebrated mathematicians of the East, indeed of the world, was born in the year 598 c.e., in the town of Bhillamala during the reign of King Vyaghramukh of the Chapa Dynasty."
↑(Plofker 2007, ப. 422) The reader is apparently expected to be familiar with basic arithmetic operations as far as the square-root; Brahmagupta merely notes some points about applying them to fractions. The procedures for finding the cube and cube-root of an integer, however, are described (compared the latter to Aryabhata's very similar formulation). They are followed by rules for five types of combinations: [...]
↑Michael John Bradley (2006). The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. Publisher Infobase Publishing. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்0816054231. Page 70, 85.
↑Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.: Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 59, 1967
Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta edited by Ram Swarup Sharma, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research, 1966. English introduction, Sanskrit text, Sanskrit and Hindi commentaries (PDF)
