Постоянная Гельфонда — трансцендентное число
e
π π -->
{\displaystyle e^{\pi }}
e в степени π Александра Осиповича Гельфонда . Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта .
Десятичное представление постоянной Гельфонда:
e
π π -->
≈ ≈ -->
23,140
692
632
779
269
005
729
086
367
948
547
… … -->
{\displaystyle e^{\pi }\approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\ldots }
Его приближённые значения можно получать[ 1]
k
n
=
1
− − -->
1
− − -->
k
n
− − -->
1
2
1
+
1
− − -->
k
n
− − -->
1
2
,
{\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}},}
k
0
=
1
2
,
{\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},}
а именно следующее выражение:
e
π π -->
≈ ≈ -->
(
1
4
k
n
)
− − -->
2
1
− − -->
n
.
{\displaystyle e^{\pi }\approx \left({\frac {1}{4}}k_{n}\right)^{-2^{1-n}}.}
При этом сходимость таких приближений к
e
π π -->
{\displaystyle e^{\pi }}
Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби [ 2]
(
e
π π -->
)
i
=
− − -->
1
{\displaystyle (e^{\pi })^{i}=-1}
e
π π -->
=
(
e
i
π π -->
)
− − -->
i
=
(
− − -->
1
)
− − -->
i
{\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}}
e
π π -->
− − -->
π π -->
=
19
,
9990999791894...
{\displaystyle e^{\pi }-\pi =19,9990999791894...}
Каждая дополнительная орбита серий отражений фотонной сферы вокруг невращающейся чëрной дыры Шварцшильда определяется множителем
e
2
π π -->
=
535.4916555247...
{\displaystyle e^{2\pi }=535.4916555247...}
[ 3]
