Постоянная Апери

Вещественные константы
ζ(3) — ρ — 2 — 3 — 5ln 2φ,Φ — ψα,δ — eeπ и π

Постоя́нная Апери́  (англ. Apéry's constant, фр. Constante d'Apéry) — вещественное число, обозначаемое (иногда ), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

.

Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью[1][2]:

1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Названа в честь Роже Апери, доказавшего в 1978 году, что является иррациональным числом (теорема Апери[англ.][3][4]). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием многочленов Лежандра. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер[5][6] вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике

Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная , даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к .

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы ). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:

и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора:

,

где в виде факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера — Маскерони .

Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма (частный случай полилогарифма ):

,
.

Представления в виде рядов

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

,
.

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа :

,

а также двукратная сумма:

.

Для доказательства иррациональности Роже Апери[3] пользовался представлением:

,

где  — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер[7] привёл представление в виде ряда[8] (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):

,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как , где  — числа Бернулли.

Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Один пример[9]:

Саймон Плафф[англ.] получил ряды другого типа[10]

а также аналогичные представления для других постоянных .

Были также получены другие представления в виде рядов:

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

В 1998 году получено представление в виде ряда[11], которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов

Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

или

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана[12], до достаточно сложных, таких, как

(Иоган Йенсен[13]),
(Фритс Бёкерс[англ.][14]),
(Ярослав Благушин[15]).

Цепные дроби

Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

Она может быть преобразована к виду:

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

[16][17]

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Апери значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[18].

Число известных значащих цифр постоянной Апери
Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления
1735 16 Леонард Эйлер[5][6]
1887 32 Томас Иоаннес Стилтьес
1996 520 000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997 1 000 000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май 10 536 006 Patrick Demichel
1998, февраль 14 000 074 Sebastian Wedeniwski
1998, март 32 000 213 Sebastian Wedeniwski
1998, июль 64 000 091 Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь 128 000 026 Sebastian Wedeniwski[19]
2001, сентябрь 200 001 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль 600 001 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль 1 000 000 000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель 10 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[20]
2009, январь 15 510 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[21]
2009, март 31 026 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[21]
2010, сентябрь 100 000 001 000 Alexander J. Yee[22]
2013, сентябрь 200 000 001 000 Robert J. Setti[22]
2015, август 250 000 000 000 Ron Watkins[22]
2015, декабрь 400 000 000 000 Dipanjan Nag[22]
2017, август 500 000 000 000 Ron Watkins[22]
2019, май 1 000 000 000 000 Ian Cutress[22]
2020, июль 1 200 000 000 000 Seungmin Kim[23]

Другие значения дзета-функции в нечётных точках

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках при . В частности, в работах Вадима Зудилина[англ.] и Тангая Ривоаля показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел [24], а также что по крайней мере одно из чисел , , , или является иррациональным[25].

Примечания

  1. Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places (англ.), Архивировано из оригинала (HTML) 5 февраля 2008, Дата обращения: 8 февраля 2011
  2. последовательность A002117 в OEIS
  3. 1 2 Roger Apéry (1979), "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque (фр.), 61: 11—13
  4. A. van der Poorten (1979), "A proof that Euler missed... Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report" (PDF), The Mathematical Intelligencer (англ.), 1: 195—203, doi:10.1007/BF03028234, Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011, Дата обращения: 8 февраля 2011
  5. 1 2 Leonhard Euler (1741), "Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735)" (PDF), Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (лат.), 8: 173—204, Архивировано из оригинала (PDF) 23 июня 2011, Дата обращения: 9 февраля 2011
  6. 1 2 Leonhard Euler (translation by Jordan Bell, 2008), "Finding the sum of any series from a given general term" (PDF), arXiv:0806.4096 (англ.), Архивировано из оригинала (PDF) 28 июня 2021, Дата обращения: 9 февраля 2011 {{citation}}: Проверьте значение даты: |year= (справка)CS1 maint: year (ссылка)
  7. Leonhard Euler (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (лат.), 17: 173—204, Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2006, Дата обращения: 8 февраля 2011
  8. H. M. Srivastava (2000), "Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions" (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics, 4 (4): 569—598, ISSN 1027-5487, Архивировано (PDF) 19 июля 2011, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: Неизвестный параметр |month= игнорируется (справка) Архивная копия от 19 июля 2011 на Wayback Machine
  9. Bruce C. Berndt (1989), Ramanujan's notebooks, Part II, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3, Архивировано из оригинала 17 августа 2010, Дата обращения: 8 февраля 2011
  10. Simon Plouffe (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, Архивировано из оригинала (HTML) 30 января 2009, Дата обращения: 8 февраля 2011
  11. D. J. Broadhurst (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv (math.CA/9803067), Архивировано из оригинала (PDF) 13 июля 2019, Дата обращения: 8 февраля 2011
  12. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969
  13. Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.
  14. F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.
  15. Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. Архивная копия от 12 декабря 2017 на Wayback Machine PDF Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine
  16. Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6. Дата обращения: 10 августа 2020. Архивировано 28 ноября 2020 года.
  17. van der Poorten, Alfred (1979), "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of ζ(3)" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195—203, doi:10.1007/BF03028234, Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011, Дата обращения: 8 августа 2020 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 69 (справка)
  18. X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation, numbers.computation.free.fr, Архивировано из оригинала (HTML) 15 января 2011, Дата обращения: 8 февраля 2011
  19. Sebastian Wedeniwski (2001), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg {{citation}}: |access-date= требует |url= (справка)
  20. Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), The Apéry's constant: ζ(3), Архивировано из оригинала (HTML) 13 ноября 2008, Дата обращения: 8 февраля 2011
  21. 1 2 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations, Архивировано из оригинала (HTML) 9 декабря 2009, Дата обращения: 8 февраля 2011
  22. 1 2 3 4 5 6 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) — Apery's Constant, Архивировано из оригинала (HTML) 18 ноября 2018, Дата обращения: 24 ноября 2018
  23. Apéry’s Constant | Polymath Collector. Дата обращения: 27 февраля 2021. Архивировано 17 октября 2020 года.
  24. T. Rivoal (2000), "La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 331: 267—270
  25. В. В. Зудилин. Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН. — 2001. — Т. 56, вып. 4(340). — С. 149–150.

Ссылки

  • Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3) // Введение в теорию чисел. — ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — С. 83—89. — 341 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
  • V. Ramaswami (1934), "Notes on Riemann's ζ-function" (PDF), J. London Math. Soc., 9: 165—169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165
  • Weisstein, Eric W. Apéry's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Read other articles:

Not to be confused with History of the Jews in New Jersey. The location of Jersey (in red) near the United Kingdom in Europe The location of the two Bailiwicks of Guernsey and Jersey (in red circle) form the Channel Islands in Europe Part of a series onJews and Judaism Etymology Who is a Jew? Religion God in Judaism (names) Principles of faith Mitzvot (613) Halakha Shabbat Holidays Prayer Tzedakah Land of Israel Brit Bar and bat mitzvah Marriage Bereavement Philosophy Ethi...

 

Pour les articles homonymes, voir Halliwell. Geri Halliwell Geri Halliwell en 2019.Informations générales Surnom Ginger Spice Nom de naissance Geraldine Estelle Halliwell Naissance 6 août 1972 (51 ans)Watford Activité principale chanteuse, danseuse, auteur-interprète, styliste, écrivain, actrice et personnalité de la télévision Genre musical Pop, dance, pop rock et pop latino Années actives Depuis 1996 Labels Spice Girls : Virgin (1996 - 1998 et 2007 à aujourd'hui)Solo...

 

Botanic garden in Miami, Florida, US This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Fairchild Tropical Botanic Garden – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2017) (Learn how and when to remove this template message) Fairchild Tropical Botanic GardenFairchild Tropical Botanic Garden in Coral Gables, Florida, November 2004TypePrivate, ...

American college football season 2015 Rutgers Scarlet Knights footballConferenceBig Ten ConferenceDivisionEast DivisionRecord4–8 (1–7 Big Ten)Head coachKyle Flood (4th season; first 2 games)Norries Wilson (next 3 games)Kyle Flood (remainder of season)Offensive coordinatorBen McDaniels (1st season)Defensive coordinatorJoe Rossi (2nd season)Home stadiumHigh Point Solutions Stadium(Capacity: 52,454)Seasons← 20142016 → 2015 Big Ten Conference foot...

 

クレーテー(現クレート)。 クレーテー(古希: Κλήτη[1][2], Klētē)は、ギリシア神話の女性である。長母音を省略してクレテとも表記される。カウローンの母[2][3]。アマゾーン族の女王ペンテシレイアの乳母。ペンテシレイアに従ってトロイアに赴いた。女王が戦死したのちは帰国するべく航海に出たが、嵐に遭遇して遠く南イタリアに流さ

 

Makan mewah atau santapan mewah (Bahasa Inggris : Fine dining) adalah pengalaman menyantap dan menikmati sajian restoran yang bersuasana canggih, unik, dan mahal daripada di restoran biasa. Dekorasi restoran yang menyediakan pengalaman semacam ini menampilkan bahan berkualitas lebih tinggi, dengan tata krama meja dan makan yang diharapkan diikuti oleh pengunjung, terkadang menuntut pengunjung untuk mengikuti aturan berpakaian . Makan mewah Penyedia layanan santapan mewah terkadang dapat ...

Pulau Sebaru KecilNegaraIndonesiaGugus kepulauanKepulauan SeribuProvinsiDKI JakartaKabupatenKepulauan SeribuLuas- km²Populasi- Pulau Sebaru Kecil adalah sebuah pulau yang terletak di Kepulauan Seribu di Daerah Khusus Ibukota Jakarta, Indonesia. Lihat pula Kabupaten Administratif Kepulauan Seribu Kepulauan Seribu Pranala luar Situs resmi Kabupaten Administratif Kepulauan Seribu Diarsipkan 2017-02-22 di Wayback Machine. lbsPulau di Kepulauan Seribu Pulau Air Besar Pulau Air Kecil Pulau Ay...

 

Environmental Conditions and Test Procedures for Airborne EquipmentCover of original 1975 issueAbbreviation RTCA DO-160 EUROCAE ED-14 StatusPublishedYear started1975Latest versionGDecember 2010 (2010-12)Organization RTCA EUROCAE CommitteeRTCA SC-135 EUROCAE WG-14DomainAviationWebsitertca.org DO-160, Environmental Conditions and Test Procedures for Airborne Equipment is a standard for the environmental testing of avionics hardware. It is published by the Radio Technical Commission fo...

 

5th Michigan Territorial Council ←4th Michigan Territorial Council 6th Michigan Territorial Council→The Territorial Courthouse in Detroit, later the State Capitol and then a schoolOverviewLegislative bodyMichigan Territorial CouncilJurisdictionMichigan Territory, United StatesMeeting placeTerritorial Courthouse, DetroitTermMay 1, 1832 (1832-05-01) – April 23, 1833 (1833-04-23)Michigan Territorial CouncilMembers13 membersPresidentJohn McDonellSe...

Tabletop role-playing game supplement This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This Dungeons & Dragons-related article describes a work or element of fiction in a primarily in-universe style. Please help rewrite it to explain the fiction more clearly and provide non-fictional perspective. (April 2013) (Learn how and when to remove this template message) This article needs addit...

 

Presbyterian university in Kerrville, Texas Schreiner UniversityFormer namesSchreiner Institute (1923–1973)Schreiner College (1973–2001)MottoYou Will Achieve MoreTypePrivate universityEstablishedSeptember 1923; 100 years ago (1923-09)Religious affiliationPresbyterian Church (USA)Endowment$57.9 million[1]PresidentDr. Charlie McCormickProvostDr. Travis FramptonStudents1,308LocationKerrville, Texas, United StatesCampusRural, 212 acresColorsMaroon & White...

 

1966 song by the Lovin' Spoonful Rain on the RoofU.S. picture sleeveSingle by the Lovin' Spoonfulfrom the album Hums of the Lovin' Spoonful B-sidePow (Theme from 'What's Up, Tiger Lily?')ReleasedOctober 1966 (1966-10)Genre Soft rock baroque rock Length2:11LabelKama SutraSongwriter(s)John SebastianProducer(s)Erik JacobsenThe Lovin' Spoonful singles chronology Summer in the City (1966) Rain on the Roof (1966) Nashville Cats (1966) Licensed audioRain on the Roof on YouTube Rain on ...

DevyatkinoStasiun Saint Petersburg MetroPeronKoordinat60°03′01″N 30°26′32″E / 60.050256°N 30.442219°E / 60.050256; 30.442219Koordinat: 60°03′01″N 30°26′32″E / 60.050256°N 30.442219°E / 60.050256; 30.442219PemilikSaint Petersburg MetroJalur Jalur Kirovsko-VyborgskayaJumlah peronPeron sisiJumlah jalur2KonstruksiKedalamanAtas tanahSejarahDibuka1978-12-29Operasi layanan Stasiun sebelumnya   StPetersburg Metro   Stas...

 

Petra beer Philadelphia beer Beer in Jordan has existed since its first introduction in the region thousands of years ago in ancient Iraq and ancient Egypt; today the country has several companies producing beer. Modern history The first brewery in Jordan was the General Investment Company (GIC), which was established in 1955 as a public company called Jordan Brewery Co. Ltd. In 1958, built the first Amstel beer factory outside the Netherlands, established in Zarqa.[1] In 1964, GIC in...

 

Coat of arms of the Astarac. Bernard IV of Astarac (1249– c. 1291) was a count of the House of Astarac [fr]. Family He was the third son of Centule I and Séguine d'Armagnac, and the brother of Centule II. Bernard became Count of Astarac following the disappearance of his brother, who died without descendants in 1249. His wife's name is unknown. He had four known children: Centule III Jean Bernard Arnaud, married to Jeanne de Faudoas. Bastides Bernard d'Astarac is at the origin...

WPB Anders (bahasa Polandia: Wielozadaniowa Platforma Bojowa Anders) adalah keluarga kendaraan tempur tracked menengah. Kendaraan ini dirancang oleh OBRUM (bahasa Polandia: Ośrodek Badawczo-Rozwojowy Urządzeń Mechanicznych - Pusat Penelitian dan Pengembangan untuk Peralatan Mekanik) bagian dari Bumar. Hal ini dinamai Władysław Anders, seorang jenderal Angkatan Darat Polandia selama Perang Dunia II dan kemudian anggota dari pemerintah Polandia di pengasingan. Referensi Altair - Po...

 

American basketball player (1990-) Mikaela RuefNo. 12 – Canberra CapitalsPositionForwardLeagueWNBLPersonal informationBorn (1990-10-20) 20 October 1990 (age 33)Dayton, OhioNationalityAmericanListed height6 ft 3 in (1.91 m)Career informationHigh schoolBeavercreek (Beavercreek, Ohio)CollegeStanford (2009–2014)WNBA draft2014: 3rd round, 31st overall pickSelected by the Seattle StormPlaying career2014–presentCareer history2014–2015Sydney Uni Flames2015–2016Ad...

 

3rd episode of the 1st season of Australian Playhouse The Air-Conditioned AuthorAustralian Playhouse episodeEpisode no.Season 1Episode 3Directed byHenri SafranTeleplay byColin FreeProduced byDavid GoddardOriginal air date2 May 1966 (1966-05-02)Running time30 minsGuest appearances Richard Meikle Eric Reiman Moya O'Sullivan Episode chronology ← PreviousThe Tape Recorder Next →The Prowler List of episodes The Air Conditioned Author is the third television play e...

Provinsi Echizen (越前国code: ja is deprecated , echizen no kuni) adalah nama provinsi lama Jepang yang sekarang merupakan wilayah bagian timur prefektur Fukui. Echizen terkenal sebagai sentra produksi Washi, literatur tahun 774 sudah mencatat tentang pembuatan washi di Echizen. Washi terus menjadi produk andalan Echizen hingga sekarang. Echizen juga terkenal dengan produksi keramik yang bernilai seni tinggi dan merupakan salah satu dari enam pusat pembakaran keramik terkenal di Jepang ber...

 

This article is about the town in Uganda. For the company whose stock ticker is PARAA, see Paramount Global.Place in Northern Uganda, UgandaParaaParaaLocation in UgandaCoordinates: 02°18′00″N 31°33′00″E / 2.30000°N 31.55000°E / 2.30000; 31.55000Country UgandaRegionNorthern UgandaSub-regionAcholi sub-regionDistrictNwoya DistrictElevation2,230 ft (680 m) Paraa is a location in Northern Uganda. Location Paraa is located in Nwoya District, Acholi sub-...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!