Родился в Зволле, в семье известного в Нидерландах инженера, также Томаса Стилтьеса (1819—1878). В семье, кроме Томаса-младшего, были ещё двое сыновей и четыре дочери[7].
Окончил Политехническую школу в Делфте (1873—1876); к учёбе относился легкомысленно, в результате чего провалил выпускные экзамены. В 1877—1883 годах работал в Лейденской обсерватории помощником по астрономическим расчётам. Решающее влияние на судьбу Стилтьеса оказала переписка с Эрмитом, начавшаяся в 1882 году и продолжавшаяся до конца его жизни (всего историки насчитали 432 письма). В первых письмах Стилтьес касался работ Эрмита по небесной механике, однако тематика быстро расширилась, увлекла Стилтьеса, и он начал собственные математические исследования[7].
В 1883 году в жизни Стилтьеса произошли три важные перемены. В мае 1883 года он женился на Элизабет (Лили) Интвельд, у них родились сын и две дочери. В сентябре Стилтьеса попросили заменить в Делфтском университете заболевшего преподавателя математики Ф. Дж. Ван де Берга. С сентября по декабрь 1883 года Стилтьес читал лекции по аналитической и начертательной геометрии. Это укрепило его желание стать профессиональным математиком. 1 декабря 1883 года Стилтьес покинул обсерваторию[7]. К этому моменту он был автором нескольких десятков статей, которые заслужили ему высокую репутацию среди математиков[8].
Сначала Стилтьес попытался получить вакантную кафедру в Гронингене, но помешало отсутствие учёной степени. Эрмит решил помочь талантливому ученику, заручился содействием директора Лейденской обсурватории Хендрика ван ден Бакхёйзена, друга Стилтьеса-отца, и добился присвоения Стилтьесу почётной степени Лейденского университета по математике и астрономии. В июне 1884 года сенат Лейденского университета утвердил это решение[7].
Скончался в новогоднюю ночь 31 декабря 1894 года в возрасте всего 38 лет, став жертвой, предположительно, одной из ранних эпидемий гриппа. Похоронен на кладбище Cimetière de Terre-Cabade в Тулузе. Его могила недавно была отреставрирована[9].
В 1894 году был опубликован его основной труд: «Исследования о непрерывных дробях»[12], сыгравший заметную роль в развитии математического анализа в XX веке, в частности, как важный первый шаг к теории гильбертовых пространств[13][7]. В этой богатой новыми идеями статье Стилтьес, помимо прочего, описал обобщение определённого интеграла (интеграл Римана — Стилтьеса), это обобщение играет важную роль в современной математике и физике. Заодно Стилтьес развил исследования П. Л. Чебышёваортогональных многочленов[13]. Пытался, совместно с Эрмитом и Дарбу, доказать гипотезу Римана, однако в их доказательстве была обнаружена неустранимая ошибка. Независимо от Рамануджана открыл первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность.
Стилтьес много работал в области комплексного анализа (теорема Стилтьеса). В уже упомянутой статье 1894 года он показал, что если последовательность аналитических функцийравномерно ограничена по модулю внутри области Т (то есть в каждом замкнутом круге, принадлежащем области), и если она равномерно сходится на какой-либо подобласти Т, то она равномерно сходится и внутри области Т. Эта теорема Стилтьеса была обобщена независимо друг от друга Дж. Витали и М. Б. Портером, показавшими, что заключение остается в силе, если сходимость выполняется на каком-либо подмножестве, имеющем в этой области хотя бы одну предельную точку[14].
Память
Имя учёного присвоено нескольким математическим понятиям.
Имя Томаса Стилтьеса было присвоено Математическому институту при Лейденском университете (институт в 2011 году расформирован в ходе объединения с двумя другими математическими институтами Нидерландов).
Избранные труды
Ссылки на тексты 94 статей Стилтьеса в интернете см. [15].
Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1981. — 270 с.
Математика XIX века. Том III: Чебышёвское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1987. — 319 с.
Боголюбов А. Н.Стилтьес Томас Ян (младший) // Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — С. 452. — 639 с.
