Теорема Стилтьеса

Теорема Стилтьеса — теорема о свойствах нормальных семейств голоморфных функций одного или многих комплексных переменных. Названа в честь Томаса Стилтьеса.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle F}$ — последовательность голоморфных функций; ${\displaystyle D}$ — область нормальности первого (второго) рода семейства, образованного из функций семейства ${\displaystyle F}$. Тогда, если в области ${\displaystyle D}$ существует точка ${\displaystyle M_{0}}$, в окрестности которой последовательность ${\displaystyle F}$ сходится, то область ${\displaystyle D}$ совпадает с областью равномерной сходимости первого (второго) рода последовательности ${\displaystyle F}$^[1].

Доказательство

Доказательство аналогично случаю одного комплексного переменного^[2].

Пояснения

Область ${\displaystyle D}$ над пространством ${\displaystyle P^{n}}$ называется областью нормальности первого (второго) рода, если:

1. Существует множество функций ${\displaystyle F}$, голоморфных в области ${\displaystyle D}$ и составляющих в этой области нормальное семейство первого (второго) рода.
2. Не существует области ${\displaystyle {\tilde {D}}>D}$, обладающей по отношению к множеству ${\displaystyle F}$ свойством, указанным в пункте 1.

Примечания

1. Фукс, 1963, с. 27.
2. Монтель, 1936, с. 193—203.

Литература

• Фукс, Б. А.. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных (рус.). — М.: Физматлит, 1963. — 428 с.
• Монтель, П. Нормальные семейства аналитических функций (рус.). — М., Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936.