Convergência de variáveis aleatórias

Em teoria das probabilidades, existem várias noções diferentes de convergência de variáveis aleatórias. A convergência de sequências de variáveis aleatórias a alguma variável aleatória limite é um importante conceito em teoria das probabilidades e tem aplicações na estatística e nos processos estocásticos. Os mesmos conceitos são conhecidos em matemática geral como convergência estocástica e formalizam a ideia de que é possível esperar que uma sequência de eventos essencialmente aleatórios ou imprevisíveis às vezes mantenha um comportamento essencialmente imutável quando itens suficientemente distantes na sequência são estudados. As possíveis noções diferentes de convergência se relacionam a como tal comportamento pode ser caracterizado: dois comportamentos prontamente entendidos são que a sequência eventualmente assume um valor constante e que os valores na sequência continuam mudando, mas podem ser descritos por uma distribuição de probabilidade imutável.

Plano de fundo

A expressão "convergência estocástica" formaliza a ideia de que é possível esperar que uma sequência de eventos essencialmente aleatórios ou imprevisíveis siga eventualmente um padrão.^[1] Este padrão pode ser, por exemplo,

• Convergência no sentido clássico de um valor fixado, talvez ele mesmo vindo de um evento aleatório;
• Uma semelhança crescente dos eventos ao que uma função puramente determinística produziria;
• Uma preferência crescente em direção a um certo valor observado;
• Uma "aversão" crescente a se afastar demais de um certo valor observado;
• A distribuição de probabilidade que descreve o próximo valor observado pode ficar cada vez mais semelhante a uma certa distribuição.

Alguns padrões teóricos, menos óbvios podem ser

• A série formada pelo cálculo do valor esperado da distância entre o valor observado e um valor particular pode convergir a zero;
• A variância da variável aleatória que descreve o seguinte evento fica cada vez menor.

Estes outros tipos de padrões que podem surgir estão refletidos em diferentes tipos de convergência estocástica que têm sido estudados.

Enquanto a discussão acima diz respeito à convergência de uma única série a um valor limitante, a noção de convergência de duas séries uma em direção a outra também é importante. No entanto, é fácil lidar com isto estudando a sequência definida como a diferença ou como a razão das duas séries.

Por exemplo, se a média de ${\displaystyle n}$ variáveis aleatórias independentes ${\displaystyle Y_{i}}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$, todas tendo média e variância iguais e finitas, é dada por

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\,,}$

então conforme ${\displaystyle n}$ tende ao infinito, ${\displaystyle X_{n}}$ converge em probabilidade à média comum ${\displaystyle \mu }$ das variáveis aleatórias ${\displaystyle Y_{i}}$. Este resultado é conhecido como lei fraca dos grandes números. Outras formas de convergência são importantes em outros teoremas úteis, incluindo o teorema central do limite.^[2]

Ao longo do que se segue, assume-se que ${\displaystyle (X_{n})}$ é uma sequência de variáveis aleatórias, ${\displaystyle X}$ é uma variável aleatória e todas elas estão definidas no mesmo espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$.

Convergência em distribuição

Exemplos de convergência em distribuição

Fábrica de dados
Suponha que uma nova fábrica de dados acaba de ser construída. Alguns dos primeiros dados saem um pouco viesados, devido a imperfeições no processo de produção. Os valores observados ao jogar qualquer um deles seguirão um distribuição marcadamente diferente da desejada distribuição uniforme. Conforme a fábrica é melhorada, os dados se tornam cada vez menos viesados e os valores observados ao jogar um dado recentemente produzido seguirão cada vez mais proximamente a distribuição uniforme.
Cara ou coroa
Considere Xn a fração de caras depois de jogar uma moeda não viesada n vezes. Então, X1 tem distribuição de Bernoulli com valor esperado μ = 0.5 e variância σ^2 = 0.25. As variáveis aleatórias subsequentes X2, X3, ... serão todas distribuídas binomialmente. Conforme n fica maior, a distribuição começará a ficar cada vez mais parecida com a distribuição normal. Se mudarmos e reescalonarmos Xn apropriadamente, então ${\displaystyle \scriptstyle Z_{n}={\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}(X_{n}-\mu )}$ estará convergindo em distribuição à normal padrão, o resultado que se segue do conhecido teorema central do limite.
Exemplo gráfico
Suponha que {Xi} seja uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme U(−1, 1). Considere ${\displaystyle \scriptstyle Z_{n}={\scriptscriptstyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ suas somas (normalizadas). Então, de acordo com o teorema central do limite, a distribuição de Zn se aproxima da distribuição normal N(0, 13). Esta convergência está mostrada na imagem: conforme n aumenta, a forma da função distribuição de probabilidade fica cada vez mais próxima da curva gaussiana.

Com este modo de convergência, nós esperamos ver o próximo valor observado em uma sequência de experimentos aleatórios cada vez mais bem modelado por uma dada distribuição de probabilidade.

A convergência em distribuição é a forma mais fraca de convergência, já que é implicada por todos os outros tipos de convergência mencionados nesta página.^[3] Entretanto, a convergência em distribuição é usada com muita regularidade na prática. Mais frequentemente, ela surge da aplicação do teorema central do limite.

Definição

Uma sequência X₁, X₂, ... de variáveis aleatórias de valores reais converge em distribuição, converge fracamente ou converge em lei a uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ se^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),}$

para todo número x ∈ R no qual ${\displaystyle F}$ é contínua. Aqui, F_n e F são as funções distribuição acumulada das variáveis aleatórias X_n e X respectivamente.

A exigência de que apenas os pontos de continuidade de F sejam considerados é essencial. Por exemplo, se X_n for distribuída uniformemente nos intervalos, (0, 1n), então, esta sequência converge em distribuição a uma variável aleatória degenerada X = 0. De fato, F_n(x) = 0 para todo ${\displaystyle n}$ quando x ≤ 0 e F_n(x) = 1 para todo x ≥ 1n quando n > 0. Entretanto, para esta variável aleatória limitante, F(0) = 1, ainda que F_n(0) = 0 para todo ${\displaystyle n}$. Assim, a convergência das funções distribuição acumulada falha no ponto ${\displaystyle x=0}$, em que ${\displaystyle F}$ é descontínua.

A convergência em distribuição pode ser denotada como

${\displaystyle {\begin{aligned}&X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {L}}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {L}}_{X},\\&X_{n}\rightsquigarrow X,\ \ X_{n}\Rightarrow X,\ \ {\mathcal {L}}(X_{n})\to {\mathcal {L}}(X),\\\end{aligned}}}$

em que ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}}$ é a lei (distribuição de probabilidade) de X. Por exemplo, se X tiver distribuição normal padrão, podemos escrever ${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)}$.

Para vetores aleatórios {X₁, X₂, ...} ⊂ R^k, a convergência em distribuição é definida de forma semelhante. Dizemos que esta sequência converge em distribuição a um vetor ${\displaystyle k}$ aleatório ${\displaystyle X}$ se

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} (X_{n}\in A)=\operatorname {Pr} (X\in A)}$

para todo A ⊂ R^k que for um conjunto continuidade de ${\displaystyle X}$.

A definição de convergência em distribuição pode ser estendida de vetores aleatórios a elementos aleatórios mais gerais em espaços métricos arbitrários, até mesmo a "variáveis aleatórias" não mensuráveis — uma situação que ocorre por exemplo no estudo de processos empíricos. Isto é a convergência fraca de leis sem que leis sejam definidas — exceto assintoticamente.^[5]

Neste caso, o termo convergência fraca é preferível e dizemos que uma sequência de elementos aleatórios ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ converge fracamente a ${\displaystyle X}$ (denotado como X_n ⇒ X) se

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}h(X_{n})\to \operatorname {E} \,h(X)}$

para todas as funções contínuas limitadas h.^[6] Aqui, ${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}}$ denota o valor esperado externo, que é o valor esperado da menor função mensurável ${\displaystyle g}$ que domina h(X_n).

Propriedades

• Já que F(a) = Pr(X ≤ a), a convergência em distribuição significa que a probabilidade de que X_n esteja em um dado intervalo é aproximadamente igual à probabilidade de que o valor de X esteja neste intervalo, sendo ${\displaystyle n}$ suficientemente grande.
• Em geral, a convergência em distribuição não implica que a sequência de funções densidade de probabilidade correspondentes também convergirá. Como um exemplo, podem-se considerar variáveis aleatórias com densidades f_n(x) = (1 − cos(2πnx))1_(0,1). Estas variáveis aleatórias convergem em distribuição a uma uniforme ${\displaystyle U(0,1)}$, enquanto suas densidades não convergem de qualquer forma.^[7]
  • Entretanto, o lema de Scheffé implica que a convergência das funções densidade de probabilidade implica convergência em distribuição.^[8]
• O lema de Portmanteau oferece várias definições equivalentes de convergência em distribuição. Ainda que estas definições sejam menos intuitivas, elas são usadas para provar uma série de teoremas estatísticos. O teorema afirma que {X_n} converge em distribuição a X se e somente só qualquer uma das afirmações seguintes for verdadeira:
  • Eƒ(X_n) → Eƒ(X) para todas as funções limitadas, contínuas ${\displaystyle f}$ (em que E denota o valor esperado);
  • Eƒ(X_n) → Eƒ(X) para todas as funções limitadas e de Lipschitz ƒ;
  • limsup{ Eƒ(X_n) } ≤ Eƒ(X) para toda função semicontínua superior ${\displaystyle f}$ limitada a partir de cima;
  • liminf{ Eƒ(X_n) } ≥ Eƒ(X) para toda função semicontínua inferior ${\displaystyle f}$ limitada a partir de baixo;
  • limsup{Pr(X_n ∈ C)} ≤ Pr(X ∈ C) para todos os conjuntos fechados C;
  • liminf{Pr(X_n ∈ U)} ≥ Pr(X ∈ U) para todos os conjuntos abertos U;
  • lim{Pr(X_n ∈ A)} = Pr(X ∈ A) para todos os conjuntos continuidade A da variável aleatória X.
• O teorema de Mann-Wald afirma que, para uma função contínua ${\displaystyle g}$, se a sequência {X_n} convergir em distribuição a ${\displaystyle X}$, então {g(X_n)} converge em distribuição a g(X).
  • Entretanto, a convergência em distribuição de {X_n} a ${\displaystyle X}$ e de {Y_n} a Y não implica em geral a convergência em distribuição de{X_n + Y_n} a X + Y ou de {X_nY_n} a XY.
• O teorema da continuidade de Lévy afirma que a sequência {X_n} converge em distribuição a X se e somente se a sequência das funções características correspondentes {φ_n} convergir pontualmente à função característica φ de X.
• A convergência em distribuição é metrizável pela métrica de Lévy-Prokhorov.^[3]
• Uma ligação natural à convergência em distribuição é o teorema da representação de Skorokhod.

Convergência em probabilidade

Examples of convergence in probability

Altura de uma pessoa
Este exemplo não deve ser tomado literalmente. Considere o seguinte experimento. Primeiramente, selecione uma pessoa na rua. Considere X sua altura, que é ex ante uma variável aleatória. Então, peça a outras pessoas que estimem sua altura a olho. Considere Xn a média das primeiras n respostas. Então, se não houver erro sistemático, a sequência Xn convergirá em probabilidade à variável aleatória X pela lei dos grandes números.
Arqueiro
Suponha que uma pessoa pegue um arco e comece a atirar flechas em um alvo. Considere Xn sua pontuação na n-ésima flecha. Inicialmente, ele não fará nenhum ponto muitas vezes, mas conforme o tempo passa e sua habilidade aumenta, ele ficara cada mais próximo de acertar a mosca e marcar 10 pontos. Depois de anos de prática, a probabilidade de que ele atinja pontuação diferente de 10 ficará cada vez menor e convergirá a 0. Assim, a sequência Xn converge em probabilidade a ${\displaystyle X=10}$ Entretanto, note que Xn não converge quase certamente. Não importa quão profissional o arqueiro se torne, haverá sempre uma pequena probabilidade de cometer um erro. Assim, a sequência ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ nunca ficará estacionária. Haverá sempre pontuações não perfeitas, ainda que se tornem cada vez menos frequentes.

A ideia básica por trás deste tipo de convergência é que a probabilidade de um valor observado "incomum" se torna cada vez menor conforme a sequência progride.^[9]

O conceito de convergência em probabilidade é usado muito frequentemente em estatística. Por exemplo, um estimador é considerado consistente se convergir em probabilidade à quantidade sendo estimada. A convergência em probabilidade é também o tipo de convergência estabelecido pela lei fraca dos grandes números.^[10]

Definição

Uma sequência ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ de variáveis aleatórias converge em probabilidade em direção à variável aleatória ${\displaystyle X}$ se para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|X_{n}-X|\geq \varepsilon {\big )}=0.}$

Formalmente, considere qualquer ${\displaystyle \varepsilon >0}$ e qualquer ${\displaystyle \delta >0}$. Considere ${\displaystyle P_{n}}$ a probabilidade de que ${\displaystyle X_{n}}$ esteja fora de um intervalo de confiança de raio ${\displaystyle \varepsilon }$ e em torno de ${\displaystyle X}$. Então, para que ${\displaystyle X_{n}}$ convirja em probabilidade a ${\displaystyle X}$, deve existir um número ${\displaystyle N}$ (que dependerá de ${\displaystyle \varepsilon }$ e ${\displaystyle \delta }$) tal que, para todo ${\displaystyle n\geq N}$, ${\displaystyle P_{n}<\delta }$.

A convergência em probabilidade ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ é denotada colocando-se a letra ${\displaystyle p}$ sobre uma seta indicando convergência ou o operador de limite de probabilidade ${\displaystyle \mathrm {plim} }$:

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {P}}\ X,\ \ {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\,X_{n}=X.}$

Para elementos aleatórios ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ em um espaço métrico separável (S, d), a convergência em probabilidade é definida de forma semelhante por^[11]

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\Pr {\big (}d(X_{n},X)\geq \varepsilon {\big )}\to 0.}$

Propriedades

• A convergência em probabilidade implica convergência em distribuição.^[9]
• Na direção oposta, a convergência em distribuição implica a convergência em probabilidade quando a variável aleatória limitante ${\displaystyle X}$ for uma constante.
• A convergência em probabilidade não implica convergência quase certa.
• O teorema de Mann-Wald afirma que, para toda função contínua ${\displaystyle g(\cdot )}$, se ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {p}}X}$, então também ${\displaystyle g(X_{n}){\xrightarrow {p}}g(X)}$.
• A convergência em probabilidade define uma topologia no espaço de variáveis aleatórias sobre um espaço de probabilidade fixado. Esta topologia é metrizável pela métrica de Ky Fan:^[11]

${\displaystyle d(X,Y)=\inf \!{\big \{}\varepsilon >0:\ \Pr {\big (}|X-Y|>\varepsilon {\big )}\leq \varepsilon {\big \}}}$

ou

${\displaystyle d(X,Y)=\mathbb {E} \left[\min(|X-Y|,1)\right]}$.

Convergência quase certa

Exemplos de convergência quase certa

Exemplo 1
Considere um animal de alguma espécie de vida curta. Nós registramos a quantidade de comida que este animal consome por dia. Esta sequência de números será imprevisível, mas podemos estar quase certos de que este número um dia será zero e permanecerá zero para sempre a partir de então.
Exemplo 2
Considere um homem que joga sete moedas toda manhã. Cada tarde, ele doa um moeda à caridade para cada cara que aparece. A partir da primeira vez em que todas as moedas derem coroa, ele parará de doar permanentemente. Considere ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ as quantidades diárias que a caridade recebe dele. Podemos ficar quase certos de que um dia esta quantidade será zero e permanecerá zero para sempre a partir de então. Entretanto, se considerarmos qualquer número finito de dias, há uma probabilidade não nula de que ele não pare de doar à caridade.

Este é o tipo de convergência estocástica mais semelhante à convergência pontual conhecida a partir da análise real elementar.

Definição

Dizer que a sequência X_n converge quase certamente, quase em todo lugar, com probabilidade 1 ou fortemente em direção a ${\displaystyle X}$ significa que^[4]

${\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}$

Isto significa que os valores de X_n se aproximam do valor de ${\displaystyle X}$ no sentido de que os eventos para os quais X_n não converge a ${\displaystyle X}$ têm probabilidade zero. Usando o espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$ e o conceito da variável aleatória como uma função de ${\displaystyle \Omega }$ a R, isto equivale à afirmação

${\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ){\Big )}=1.}$

Usando a noção do limite inferior de uma sequência de conjuntos, a convergência quase certa pode ser definida como:

${\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\liminf _{n\to \infty }{\big \{}\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-X(\omega )|<\varepsilon {\big \}}{\Big )}=1\quad {\text{para todo}}\quad \varepsilon >0.}$

A convergência quase certa é frequentemente denotada colocando-se as letras ${\displaystyle q.c.}$ sobre uma seta indicando convergência,

${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {\mathrm {q.c.} }}\,X.}$

Para elementos aleatórios genéricos ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ em um espaço métrico ${\displaystyle (S,d)}$, a convergência quase certa é definida de forma semelhante:

${\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Big )}=1}$

Propriedades

• A convergência quase certa implica convergência em probabilidade pelo lema de Fatou e, por isso, implica convergência em distribuição. É a noção de convergência usada na lei forte dos grandes números.^[10]
• O conceito de convergência quase certa não vem de uma topologia sobre o espaço de variáveis aleatórias. Isto significa que não há topologia no espaço de variáveis aleatórias tal que as sequências quase certamente convergentes são exatamente as sequências convergentes em relação àquela topologia. Em particular, não há métrica de convergência quase certa.

Convergência certa

Dizer que a sequência de variáveis aleatórias ${\displaystyle X_{n}}$ definida ao longo do mesmo espaço de probabilidade (isto é, um processo aleatório) converge certamente, em todo lugar ou pontualmente a ${\displaystyle X}$ significa que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ),\,\,\forall \omega \in \Omega .}$

em que ${\displaystyle \Omega }$ é o espaço amostral do espaço de probabilidade subjacente sobre o qual as variáveis aleatórias são definidas.

Esta é a noção de convergência pontual de uma sequência de funções estendida a uma sequência de variáveis aleatórias, lembrando que as variáveis aleatórias são elas mesmas funções.

${\displaystyle {\big \{}\omega \in \Omega \,|\,\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ){\big \}}=\Omega .}$

A convergência certa de uma variável aleatória implica todos os outros tipos de convergência descritos acima. A diferença entre a convergência quase certa e a convergência certa está nos conjuntos com probabilidade zero. Por isso, o conceito de convergência certa de variáveis aleatórias é muito raramente usado.

Convergência em média

Dado um número real r ≥ 1, dizemos que a sequência X_n converge na ${\displaystyle r}$-ésima média ou na norma L^r[12] à variável aleatória ${\displaystyle X}$ se os ${\displaystyle r}$-ésimos momentos absolutos ${\displaystyle \mathrm {E} (|X_{n}|^{r})}$ e ${\displaystyle \mathrm {E} (|X|^{r})}$ de ${\displaystyle X_{n}}$ e ${\displaystyle X}$ existem e

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,}$

em que o operador ${\displaystyle \mathrm {E} }$ denota o valor esperado. A convergência na ${\displaystyle r}$-ésima média nos diz que o valor esperado da ${\displaystyle r}$-ésima potência da diferença entre ${\displaystyle X_{n}}$ e ${\displaystyle X}$ converge a zero.

Este tipo de convergência é frequentemente denotado colocando-se L^r sobre uma seta indicando convergência:

${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {L^{r}}}\,X.}$

Os casos mais importantes de convergência na ${\displaystyle r}$-ésima média são:

• Quando X_n converge na ${\displaystyle r}$-ésima média a ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle r=1}$, dizemos que X_n converge em média a ${\displaystyle X}$.
• Quando X_n converge na ${\displaystyle r}$-ésima média a ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle r=2}$, dizemos que X_n converge em média quadrática a ${\displaystyle X}$.

A convergência na na ${\displaystyle r}$-ésima média, para ${\displaystyle r\geq 1}$, implica convergência em probabilidade pela desigualdade de Markov.^[13] Além disso, se ${\displaystyle r>s\geq 1}$, a convergência na ${\displaystyle r}$-ésima média implica convergência na ${\displaystyle s}$-ésima média. Assim, a convergência em média quadrática implica a convergência em média.

Vale notar que, se ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {L^{r}}}X}$, então

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E[|X_{n}|^{r}]=E[|X|^{r}]}$

Propriedades

Se o espaço de probabilidade for completo:

• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}$ e ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ Y}$, então ${\displaystyle X=Y}$ quase certamente.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ X}$ e ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ Y}$, então ${\displaystyle X=Y}$ quase certamente.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X}$ e ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ Y}$, então ${\displaystyle X=Y}$ quase certamente.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}$ e ${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ Y}$, então ${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ aX+bY}$ (para quaisquer números reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$) e ${\displaystyle X_{n}Y_{n}{\xrightarrow {p}}\ XY}$.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ X}$ e ${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ Y}$, então ${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ aX+bY}$ (para quaisquer números reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$) e ${\displaystyle X_{n}Y_{n}{\xrightarrow {q.c.}}\ XY}$.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X}$ e ${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ Y}$, então ${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ aX+bY}$ (para quaisquer números reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$).
• Nenhuma das afirmações acima é verdadeira para convergência em distribuição.

A cadeia de implicações entre as várias noções de convergências estão notadas em suas respectivas seções. Elas são, usando notação de setas:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\xrightarrow {L^{s}}}&{\underset {s>r\geq 1}{\Rightarrow }}&{\xrightarrow {L^{r}}}&&\\&&\Downarrow &&\\{\xrightarrow {q.c.}}&\Rightarrow &{\xrightarrow {\ p\ }}&\Rightarrow &{\xrightarrow {\ d\ }}\end{matrix}}}$

Estas propriedades, unidas a uma série de outros casos especiais, estão resumidas na lista abaixo:

• Convergência quase certa implica convergência em probabilidade:^[14]

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}$

• Convergência em probabilidade implica que existe uma subsequência ${\displaystyle (k_{n})}$ que quase certamente converge:^[15]

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{k_{n}}\ {\xrightarrow {a.s.}}\ X}$

• Convergência em probabilidade implica convergência em distribuição:^[14]

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X}$

• Convergência na ${\displaystyle r}$-ésima média implica convergência em probabilidade:

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}$

• Convergência na ${\displaystyle r}$-ésima média implica convergência na média de ordem mais baixa, assumindo que ambas as ordens são maiores ou iguais a um:

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {L^{s}}}\ X,}$ sendo ${\displaystyle r>s\geq 1}$.

• Se ${\displaystyle X_{n}}$ convergir em distribuição a uma constante ${\displaystyle c}$, então ${\displaystyle X_{n}}$ converge em probabilidade a ${\displaystyle c}$:^[14]

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ c,}$ sendo ${\displaystyle c}$ uma constante.

• Se X_n convergir em distribuição a ${\displaystyle X}$ e a diferença entre ${\displaystyle X_{n}}$ e ${\displaystyle Y_{n}}$ converge em probabilidade a zero, então ${\displaystyle Y_{n}}$ também converge em distribuição a ${\displaystyle X}$:^[14]

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ |X_{n}-Y_{n}|\ {\xrightarrow {p}}\ 0\ \quad \Rightarrow \quad Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X}$

• Se ${\displaystyle X_{n}}$ convergir em distribuição a ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y_{n}}$ convergir em distribuição a uma constante ${\displaystyle c}$, então o vetor conjunto ${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ converge em distribuição a ${\displaystyle (X,c)}$:

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ (X,c)}$ sendo ${\displaystyle c}$ uma constante.

A condição de que Y_n convirja a uma constante é importante. Se convergisse a uma variável aleatória ${\displaystyle Y}$, então não se poderia concluir que ${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ converge a ${\displaystyle (X,Y)}$.

• Se ${\displaystyle X_{n}}$ convergir em probabilidade a ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y_{n}}$ convergir em probabilidade a ${\displaystyle Y}$, então o vetor conjunto ${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ converge em probabilidade a ${\displaystyle (X,Y)}$:^[14]

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ Y\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ (X,Y)}$

• Se X_n convergir em probabilidade a ${\displaystyle X}$ e P(|X_n| ≤ b) = 1 para todo ${\displaystyle n}$ e algum ${\displaystyle b}$, então X_n converge na ${\displaystyle r}$-ésima média a ${\displaystyle X}$ para todo r ≥ 1. Em outras palavras, se X_n convergir em probabilidade a ${\displaystyle X}$ e todas as variáveis aleatórias X_n forem quase certamente limitadas acima e abaixo, então X_n converge a ${\displaystyle X}$ também em qualquer ${\displaystyle r}$-ésima média.
• Geralmente, convergência em distribuição não implica convergência quase certa. Entretanto, para uma dada sequência ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ que converge em distribuição a ${\displaystyle X_{0}}$, é sempre possível encontrar um novo espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ e variáveis aleatórias ${\displaystyle \{Y_{n},n=0,1,...\}}$ definidas neste espaço tal que ${\displaystyle Y_{n}}$ seja igual em distribuição X_n para todo ${\displaystyle n\geq 0}$ e ${\displaystyle Y_{n}}$ convirja a ${\displaystyle Y_{0}}$ quase certamente.^[14]
• Se para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \sum _{n}\mathbb {P} \left(|X_{n}-X|>\varepsilon \right)<\infty ,}$

então dizemos que X_n converge quase completamente ou quase em probabilidade em direção a ${\displaystyle X}$. Quando ${\displaystyle X_{n}}$ converge quase completamente em direção a ${\displaystyle X}$, então também converge quase certamente a ${\displaystyle X}$. Em outras palavras, se X_n convergir em probabilidade a ${\displaystyle X}$ de forma suficientemente rápida, isto é, se a sequência acima das probabilidades de cauda for somável para todo ε > 0, então, X_n converge quase certamente a ${\displaystyle X}$. Esta é uma implicação direta do lema de Borel-Cantelli.

• Se S_n for uma soma de ${\displaystyle n}$ variáveis aleatórias independentes reais:

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,}$

então S_n converge quase certamente se e somente se S_n convergir em probabilidade.

• O teorema da convergência dominada dá condições suficientes para que a convergência quase certa implique convergência ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}X_{n}{\xrightarrow {a.s.}}X\\|X_{n}|<Y\\\mathrm {E} (Y)<\infty \end{matrix}}\right\}\quad \Rightarrow \quad X_{n}{\xrightarrow {L^{1}}}X}$

• Uma condição necessária e suficiente para a convergência ${\displaystyle L^{1}}$ é que ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {P}}X}$ e a sequência ${\displaystyle (X_{n})}$ seja uniformemente integrável.

Referências

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4. vaart, A. W. van der; Wellner, Jon (9 de março de 2013). Weak Convergence and Empirical Processes: With Applications to Statistics (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9781475725452 
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Este artigo incorpora material do artigo "Convergência de variáveis aleatórias", do Citizendium, que está sob a licença Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported, porém não sob a GFDL.