Processo de Feller

 Nota: Não confundir com Processo contínuo de Feller.

Na teoria das probabilidades relativa aos processos estocásticos, um processo de Feller é um tipo particular de processo de Markov.

Definições

Considere ${\displaystyle X}$ um espaço de Hausdorff localmente compacto com uma base contável. Considere que ${\displaystyle C_{0}(X)}$ denota o espaço de todas as funções contínuas de valores reais em ${\displaystyle X}$ que desaparecem no infinito, equipadas com a norma uniforme ${\displaystyle \|f\|}$. A partir da análise, sabemos que ${\displaystyle C_{0}(X)}$ com a norma uniforme é um espaço de Banach.

Um semigrupo de Feller em ${\displaystyle C_{0}(X)}$ é uma coleção ${\displaystyle \{T_{t}\}_{t\geq 0}}$ de mapas lineares positivos de ${\displaystyle C_{0}(X)}$ a ela mesma, tal que:

• ${\displaystyle ||T_{t}f||\leq ||f||}$ para todo ${\displaystyle t\geq 0}$ e ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle C_{0}(X)}$, isto é, é uma contração (no sentido fraco);
• A propriedade do semigrupo: ${\displaystyle T_{t+s}=T_{t}T_{s}}$ para todo ${\displaystyle s,t\geq 0}$;
• ${\displaystyle \lim _{t\to 0}||T_{t}f-f||=0}$ para toda ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle C_{0}(X)}$. Usando a propriedade do semigrupo, isto é equivalente ao mapa ${\displaystyle T_{t}f}$ de ${\displaystyle t}$ em ${\displaystyle [0,\infty )}$ a ${\displaystyle C_{0}(X)}$ sendo contínuo à direita para toda ${\displaystyle f}$.

Esta terminologia não é uniforme ao longo da literatura. Em particular, o pressuposto de que ${\displaystyle T_{t}}$ mapeia ${\displaystyle C_{0}(X)}$ em si mesmo é substituído por alguns autores pela condição de que mapeia ${\displaystyle C_{b}(X)}$, o espaço das funções contínuas limitadas, em si mesmo. A razão para isto é dupla: em primeiro lugar, permite incluir processos que entram "a partir do infinito" no tempo finito, e, em segundo lugar, é mais adequado para o tratamento de espaços que não são localmente compactos e, para isto, a noção de "desaparecer no infinito" não faz sentido.

Uma função de transição de Feller é uma função de transição de possibilidade associada com um semigrupo de Feller.

Um processo de Feller é um processo de Markov com uma função de transição de Feller.^[1]

Gerador

Processos de Feller (ou semigrupos de transição) podem ser descritos por seu gerador infinitesimal. Uma função ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle C_{0}}$ é dita no domínio do gerador se o limite uniforme:

${\displaystyle Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},}$

existe. O operador ${\displaystyle A}$ é o gerador de ${\displaystyle T_{t}}$ e o espaço das funções em que é definido é escrito ${\displaystyle D_{A}}$.

Uma caracterização dos operadores que podem ocorrer como o gerador infinitesimal do processo de Feller é dada pelo teorema de Hille–Yosida. Isto usa o resolvente do semigrupo de Feller definido abaixo.^[2]

Resolvente

O resolvente de um processo (ou semigrupo) de Feller é uma coleção de mapas ${\displaystyle (R_{\lambda })_{\lambda >0}}$ de ${\displaystyle C_{0}(X)}$ a ele mesmo definida por:

${\displaystyle R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.}$

Pode-se mostrar que satisfaz a identidade:

${\displaystyle R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).}$

Além disso, para qualquer ${\displaystyle \lambda >0}$, a imagem de ${\displaystyle R_{\lambda }}$ é igual ao domínio ${\displaystyle D_{A}}$ do gerador ${\displaystyle A}$ e:

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1},\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{aligned}}}$^[3]

Exemplos

• O movimento browniano e o processo de Poisson são exemplos de processos de Feller. De forma mais generalizada, todo processo de Lévy é um processo de Feller.
• Processos de Bessel são processos de Feller.
• Soluções a equações diferenciais estocásticas com coeficientes contínuos de Lipschitz são processos de Feller.
• Todo processo de Feller satisfaz a propriedade forte de Markov.^[4]

Ver também

• Processo de Markov
• Processo de Hunt

Referências

1. Jacob, Niels (2001). Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov processes and applications (em inglês). [S.l.]: Imperial College Press. ISBN 9781860945687 
2. Kolokoltsov, Vassili N. (2011). Markov Processes, Semigroups, and Generators (em inglês). [S.l.]: Walter de Gruyter. ISBN 9783110250107 
3. Marcus, Michael B.; Rosen, Jay (24 de julho de 2006). Markov Processes, Gaussian Processes, and Local Times (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521863001 
4. Liggett, Thomas Milton (2010). Continuous Time Markov Processes: An Introduction (em inglês). [S.l.]: American Mathematical Soc. ISBN 9780821849491