Na teoria da probabilidade, o teorema de Girsanov (em nome de Igor Vladimirovich Girsanov) descreve como a dinâmica de processos estocásticos muda quando o a medida original é alterada para uma medida da probabilidade equivalente.[1]:607 O teorema é especialmente importante na teoria da matemática financeira, na medida em que converte a probabilidade de uma medida física que descreve a probabilidade de que um ativo subjacente (como um preço ou uma taxa de juros) ter um determinado valor ou valores em uma medida de risco-neutro, uma uma ferramenta muito útil para o cálculo de preços derivados do subjacente.
História
Resultados deste tipo foram pela primeira vez demonstrados por Cameron–Martin na década de 1940 e por Girsanov, em 1960.[2] Eles foram, posteriormente, estendido para classes mais gerais de processo que culminaram na forma geral de Lenglart (1977).
Significado
O teorema de Girsanov é importante na teoria geral de processos estocásticos, pois permite que o resultado-chave de que se Q é uma medida absolutamente contínua com respeito a P , então, todo P-semimartingale é um Q-semimartingale.[3]
Demonstração do teorema
Apresentamos o teorema primeiro para o caso especial quando o processo estocástico subjacente é um processo de Wiener. Este caso especial é suficiente para preços de risco-neutro no modelo de Black-Scholes e em muitos outros modelos (por exemplo, modelos contínuos).
Deixe ser um processo de Wiener espaço de probabilidade Wiener . Deixe ser um processo adaptado mensurável para a filtragem natural do processo de Wiener com .
Defina o exponencial Doléans de X com respeito a W
Se é um martingale estritamente positivo, uma medida de probabilidade Q pode ser definida em de tal forma a termos um derivativo de de Radon–Nikodym
Em seguida, para cada t a medida Q restrita para os campos sigma não aumentados é equivalente a P restrito a . Além disso, se Y é um local de martingale em P, então o processo
é um Q local de martingale no espaço de probabilidade filtrado .