Processo de Bessel

Em matemática, um processo de Bessel, que recebe este nome em homenagem a Friedrich Wilhelm Bessel, é um tipo de processo estocástico.^[1]

Definição formal

Três representações de processos de Bessel

O processo de Bessel de um ordem ${\displaystyle n}$ é o processo de valores reais ${\displaystyle X}$ dado por

${\displaystyle X_{t}=\|W_{t}\|,}$

em que ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ denota a norma euclidiana em ${\displaystyle R^{n}}$ e ${\displaystyle W}$ é um processo de Wiener (movimento browniano) de ${\displaystyle n}$ dimensões a partir da origem.

Este processo de Bessel de ${\displaystyle n}$ dimensões é a solução para a equação diferencial estocástica^[2]

${\displaystyle dX_{t}=dZ_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}}$

Em que ${\displaystyle Z}$ é um processo de Wiener (movimento browniano) de dimensão ${\displaystyle 1}$. Note que esta equação diferencial estocástica faz sentido para qualquer parâmetro real ${\displaystyle n}$ (ainda que o termo de deriva seja singular em ${\displaystyle 0}$). Assumindo-se que ${\displaystyle W}$ começou a partir da origem, a condição inicial é ${\displaystyle X_{0}=0}$.

Notação

Uma notação para o processo de Bessel de dimensão ${\displaystyle n}$ iniciado em ${\displaystyle 0}$ é ${\displaystyle BES_{0}(n)}$.

Dimensões específicas

Para ${\displaystyle n\geq 2}$, o processo de Wiener de ${\displaystyle n}$ dimensões é transitório a partir de seu ponto de origem: com probabilidade ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle X_{t}>0}$ para todo ${\displaystyle t>0}$. É, entretanto, recorrente na vizinhança para ${\displaystyle n=2}$, o que significa que, com probabilidade ${\displaystyle 1}$, para qualquer ${\displaystyle r>0}$, há ${\displaystyle t}$ arbitrariamente grandes com ${\displaystyle X_{t}<r}$. Por outro lado, é verdadeiramente transitório para ${\displaystyle n>2}$, o que significa que ${\displaystyle X_{t}\geq r}$ para todo ${\displaystyle t}$ suficientemente grande.

Para ${\displaystyle n\leq 0}$, o processo de Bessel é geralmente iniciado em pontos diferentes de ${\displaystyle 0}$, já que a deriva a ${\displaystyle 0}$ é tão forte que o processo fica preso a ${\displaystyle 0}$ assim que atinge ${\displaystyle 0}$.

Relação com movimento browniano

Processos de Bessel de dimensões ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 2}$ são relacionados a tempos locais do movimento browniano via teoremas de Ray-Knight.^[3]

A lei de um movimento browniano perto dos extremos de ${\displaystyle X}$ é a lei de um processo de Bessel tridimensional (Fórmula de Tanaka).

Referências

1. Rogers, L. C. G.; Williams, David (13 de abril de 2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521775946 
2. Øksendal, Bernt (1 de janeiro de 2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540047582 
3. Revuz, Daniel; Yor, Marc (9 de março de 2013). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662064009