Excursão browniana

Uma ocorrência de excursão browniana.

Em teoria das probabilidades, uma excursão browniana é um processo estocástico intimamente relacionado com um processo de Wiener (ou movimento browniano). Ocorrências de excursão browniana são essencialmente simples ocorrências de um processo de Wiener impelidas a satisfazer certas condições. Em particular, uma excursão browniana é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1.^[1] Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva. Excursões brownianas são importantes porque, dentre outras razões, surgem naturalmente como o processo limite de uma quantidade de teoremas centrais do limite funcionais condicionais.^[2]

Definição

Uma excursão browniana ${\displaystyle e}$ é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva.

Outra representação de uma excursão browniana ${\displaystyle e}$ em termos de um movimento browniano ${\displaystyle W}$ (proposta por Paul Lévy e notada por Kiyoshi Itō e Henry P. McKean Jr.)^[3][4] se refere ao último tempo ${\displaystyle \tau _{-}}$ em que ${\displaystyle W}$ atinge zero antes do tempo 1 e o primeiro tempo ${\displaystyle \tau _{+}}$ em que ${\displaystyle W}$ atinge zero depois do tempo 1:^[4]

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Considere ${\displaystyle \tau _{m}}$ o tempo em que a ponte browniana ${\displaystyle W_{0}}$ atinge seu mínimo em ${\displaystyle [0,1]}$. Em 1979, Wim Vervat mostrou que:^[5]

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Propriedades

A representação de Vervaat de uma excursão browniana tem várias consequências para diversas funções de ${\displaystyle e}$. Em particular,

${\displaystyle M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\ {\stackrel {d}{=}}\ \sup _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t)-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t),}$

o que também pode ser derivado por cálculos explícitos,^[6][7] e

${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{=}}\ \int _{0}^{1}W_{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).}$

O seguinte resultado se aplica:^[8]

${\displaystyle EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\approx 1.25331\ldots ,\,}$

E os seguintes valores para o segundo momento e a variância podem ser calculados pela forma exata da distribuição e densidade:^[8]

${\displaystyle EM_{+}^{2}\approx 1.64493\ldots \ ,\ \ \operatorname {Var} (M_{+})\approx 0.0741337\ldots .}$

Em 1989, Piet Groeneboom deu uma expressão da transformada de Laplace da densidade de ${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$.^[9] Uma fórmula para uma certa transformada dupla da distribuição desta integral de área foi dada por Guy Louchard em 1984.^[10]

Em 1983, Groeneboom e Jim Pitman deram decomposições do movimento browniano ${\displaystyle W}$ em termos de excursões brownianas independentes e identicamente distribuídas e do menor majorante côncavo (ou do maior minoraste convexo) de ${\displaystyle W}$.^[11][12]

Conexões e aplicações

A área da excursão browniana

${\displaystyle A_{+}\equiv \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

surge em conexão com a enumeração de grafos conectados, outros problemas em teoria combinatória, a distribuição limite de números de Betti de certas variedades em teoria da co-homologia.^{[13][14][15][16][17][18]} Em 1991, Lajos Takács mostrou que ${\displaystyle A_{+}}$ tem densidade^[19]

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)={\frac {2{\sqrt {6}}}{x^{2}}}\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}^{2/3}e^{-v_{j}}U\left(-{\frac {5}{6}},{\frac {4}{3}};v_{j}\right)\ \ {\text{ com }}\ \ v_{j}={\frac {2|a_{j}|^{3}}{27x^{2}}}}$

em que ${\displaystyle a_{j}}$ são os zeros da função de Airy e ${\displaystyle U}$ é a função hipergeométrica confluente. Em 2007, Svante Janson e Guy Louchard mostraram que^[20]

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)\sim {\frac {72{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}x^{2}e^{-6x^{2}}\ \ {\text{ conforme }}\ \ x\rightarrow \infty ,}$

e

${\displaystyle P(A_{+}>x)\sim {\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}xe^{-6x^{2}}\ \ {\text{ conforme }}\ \ x\rightarrow \infty .}$

Os autores também deram expansões de ordem mais elevada em ambos os casos.

Em 2007, Janson deu momentos de ${\displaystyle A_{+}}$ e muitas outras funcionais de área.^[16] Em particular,

${\displaystyle E(A_{+})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\ \ E(A_{+}^{2})={\frac {5}{12}}\approx 0.416666\ldots ,\ \ \operatorname {Var} (A_{+})={\frac {5}{12}}-{\frac {\pi }{8}}\approx .0239675\ldots \ .}$

Excursões brownianas também surgem em conexão com problemas de filas, tráfego ferroviário e alturas de árvores binárias aleatoriamente enraizadas.^{[19][21][22][23]}

Ver também

• Movimento browniano
• Ponte browniana
• Processo de Wiener

Referências

1. Chung, Kai Lai (1975). «Maxima in Brownian excursions». Bulletin of the American Mathematical Society. 81 (4): 742–745. ISSN 0002-9904. doi:10.1090/s0002-9904-1975-13852-3 
2. Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (fevereiro de 1977). «Functionals of Brownian Meander and Brownian Excursion». The Annals of Probability (em inglês). 5 (1): 130–135. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176995896 
3. Lévy, Paul (1965). Processus stochastiques et mouvement brownien (em francês). [S.l.]: Paris 
4. Itô, Kiyosi; McKean, Henry P. Jr (6 de dezembro de 2012). Diffusion Processes and their Sample Paths: Reprint of the 1974 Edition (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642620256 
5. Vervaat, Wim (fevereiro de 1979). «A Relation between Brownian Bridge and Brownian Excursion». The Annals of Probability (em inglês). 7 (1): 143–149. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176995155 
6. Chung, Kai Lai (dezembro de 1976). «Excursions in Brownian motion». Arkiv för Matematik (em inglês). 14 (1-2): 155–177. ISSN 0004-2080. doi:10.1007/bf02385832 
7. Kennedy, Douglas P. (1976). «The Distribution of the Maximum Brownian Excursion». Journal of Applied Probability. 13 (2): 371–376. doi:10.2307/3212843 
8. Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (fevereiro de 1977). «Functionals of Brownian Meander and Brownian Excursion». The Annals of Probability (em inglês). 5 (1): 130–135. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176995896 
9. Groeneboom, Piet (1 de fevereiro de 1989). «Brownian motion with a parabolic drift and airy functions». Probability Theory and Related Fields (em inglês). 81 (1): 79–109. ISSN 0178-8051. doi:10.1007/bf00343738 
10. Louchard, G. (1984). «Kac's Formula, Levy's Local Time and Brownian Excursion». Journal of Applied Probability. 21 (3): 479–499. doi:10.2307/3213611 
11. Groeneboom, Piet (novembro de 1983). «The Concave Majorant of Brownian Motion». The Annals of Probability (em inglês). 11 (4): 1016–1027. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176993450 
12. Pitman, J. W. (1983). «Remarks on the Convex Minorant of Brownian Motion». Birkhäuser Boston. Seminar on Stochastic Processes, 1982 (em inglês): 219–227. doi:10.1007/978-1-4684-0540-8_11 
13. Wright, E. M. (1 de dezembro de 1977). «The number of connected sparsely edged graphs». Journal of Graph Theory (em inglês). 1 (4): 317–330. ISSN 1097-0118. doi:10.1002/jgt.3190010407 
14. Wright, E. M. (1 de dezembro de 1980). «The number of connected sparsely edged graphs. III. Asymptotic results». Journal of Graph Theory (em inglês). 4 (4): 393–407. ISSN 1097-0118. doi:10.1002/jgt.3190040409 
15. Spencer, Joel (1 de março de 1997). «Enumerating graphs and Brownian motion». Communications on Pure and Applied Mathematics (em inglês). 50 (3): 291–294. ISSN 1097-0312. doi:10.1002/(sici)1097-0312(199703)50:3%3C291::aid-cpa4%3E3.0.co;2-6 
16. Janson, Svante (2007). «Brownian excursion area, Wright's constants in graph enumeration, and other Brownian areas». Probability Surveys (em inglês). 4: 80–145. ISSN 1549-5787. doi:10.1214/07-ps104 
17. Flajolet, P.; Louchard, G. (1 de novembro de 2001). «Analytic Variations on the Airy Distribution». Algorithmica (em inglês). 31 (3): 361–377. ISSN 0178-4617. doi:10.1007/s00453-001-0056-0 
18. Reineke, Markus (1 de outubro de 2005). «Cohomology of Noncommutative Hilbert Schemes». Algebras and Representation Theory (em inglês). 8 (4): 541–561. ISSN 1386-923X. doi:10.1007/s10468-005-8762-y 
19. Takács, Lajos (1991). «A Bernoulli Excursion and Its Various Applications». Advances in Applied Probability. 23 (3): 557–585. doi:10.2307/1427622 
20. Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). «Tail estimates for the Brownian excursion area and other Brownian areas». Electronic Journal of Probability (em inglês). 12: 1600–1632. ISSN 1083-6489. doi:10.1214/ejp.v12-471 
21. Iglehart, Donald L. (agosto de 1974). «Functional Central Limit Theorems for Random Walks Conditioned to Stay Positive». The Annals of Probability (em inglês). 2 (4): 608–619. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176996607 
22. Takács, Lajos. «On a probability problem connected with Railway traffic». Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis (em inglês). 4 (1): 1–27. ISSN 1048-9533. doi:10.1155/s1048953391000011 
23. Takacs, L. (1 de julho de 1994). «On the Total Heights of Random Rooted Binary Trees». Journal of Combinatorial Theory, Series B. 61 (2): 155–166. doi:10.1006/jctb.1994.1041