W 1990 rozpoczął karierę piłkarską w klubie Spartak Orzeł, skąd latem przeszedł do Nistru Kiszyniów. W kiszyniowskim klubie z przerwami grał przez 8 lat. W 1995–1997 bronił barw holenderskiegoGo Ahead Eagles. W styczniu 1998 był obserwowany przez Watford, ale ostatecznie nie trafił do tego klubu z powodu braku porozumienia z Zimbru[2][3]. W 1998 został wypożyczony do rosyjskiegoZenitu Petersburg. W 1999 roku Cleșcenco dołączył do zespołu Maccabi z klubu Zimbru Kiszyniów. Był to jeden z najlepszych startów dla zagranicznego piłkarza w Izraelu, ponieważ liczbą 22 bramek Serghei pobił rekord strzelecki obcokrajowców należący do Andrzeja Kubicy. Po świetnym sezonie w Izraelu przeszedł do Hapoelu Tel Awiw, gdzie był w składzie, z którą osiągnął awans do ćwierćfinału Pucharu UEFA. Potem występował w klubach Hapoel Tel Awiw, Czernomoriec Noworosyjsk i Bene Jehuda Tel Awiw. W 2004 kolejny raz powrócił do Zimbru Kiszyniów, ale po zakończeniu sezonu ponownie wyjechał za granicę, tym razem do zespołu Czkałowiec Nowosybirsk. W swoim ostatnim klubie Mietałłurg-Kuzbass Nowokuźnieck grał do końca 2007.
W grudniu 2011 roku Cleșcenco objął posadę szkoleniowca Milsami. Podpisał z tym klubem dwuipółletni kontrakt[5]. W kwietniu 2013 został nowym trenerem Zimbru Kiszyniów[6][7]. Dwa miesiące wcześniej został dyrektorem generalnym tego klubu[8].
