Równanie soczewki

Równanie soczewki (zwierciadła) – równanie określające zależność pomiędzy odległością przedmiotu od soczewki a odległością jego obrazu otrzymanego w tej soczewce

${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}},}$

gdzie:

${\displaystyle x}$ – odległość przedmiotu od soczewki,

${\displaystyle y}$ – odległość obrazu od soczewki,

${\displaystyle f}$ – ogniskowa soczewki^[1][2].

Wyprowadzenie

Równanie zwierciadła

Oznaczmy położenie przedmiotu jako ${\displaystyle O,}$ położenie przedmiotu jako ${\displaystyle I,}$ środek krzywizny zwierciadła jako ${\displaystyle C,}$ środek zwierciadła jako ${\displaystyle V}$ oraz obierzmy na zwierciadle dowolny punkt ${\displaystyle P.}$ Kąty pomiędzy nimi oznaczmy jak na rysunku.

Zgodnie z prawem odbicia zachodzi równość

${\displaystyle \alpha =\alpha '.}$

Z sumy miar kątów w trójkącie dostajemy następujące równości:

${\displaystyle \beta +\alpha =\gamma ,}$

${\displaystyle \beta +2\alpha =\delta ,}$

z czego wynika, że

${\displaystyle \beta +\delta =\gamma -\alpha +\beta +2\alpha =\gamma +\beta +\alpha =2\gamma .}$

Używając przybliżeń małych kątów dla promieni przyosiowych, możemy zapisać, że:

${\displaystyle \beta ={\frac {PV}{OV}},}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {PV}{CV}},}$

${\displaystyle \delta ={\frac {PV}{IV}}.}$

Podstawiając to do poprzedniego równania, dostajemy:

${\displaystyle {\frac {PV}{OV}}+{\frac {PV}{IV}}=2{\frac {PV}{CV}}.}$

Podstawiając wartości ${\displaystyle OV=x,}$ ${\displaystyle IV=y,}$ ${\displaystyle CV=R}$ oraz skracając przez ${\displaystyle PV,}$ otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {2}{R}}.}$

Promienie równoległe do osi skupiają się w ognisku zwierciadła, zatem podstawiając ${\displaystyle x\to \infty }$ i ${\displaystyle y\to f,}$ dostajemy

${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}+{\frac {1}{f}}={\frac {2}{R}},}$

zatem

${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {2}{R}}={\frac {1}{f}}}$^[3].

Równanie soczewki

Oznaczmy położenie przedmiotu jako ${\displaystyle O}$ oraz położenie obrazu jako ${\displaystyle I.}$

Fala rozchodząca się z punktu ${\displaystyle O}$ rozchodzi się kuliście. Na rysunku zaznaczono fragment łuku będący czołem fali wychodzącej z ${\displaystyle O}$ tuż przed i tuż po wejściu do soczewki. Po przejściu przez soczewkę, czoło fali również formuje sferę, aby w równym czasie dojść do punktu ${\displaystyle I.}$

Wiemy zatem, że wszystkie promienie muszą dotrzeć w tym samym czasie do obrazu. W szczególności, promień ${\displaystyle OWW'I}$ musi pokonać swoją drogę w tym samym czasie co ${\displaystyle OLL'I.}$ Skoro ${\displaystyle OW=OL}$ i ${\displaystyle W'I=L'I,}$ dostajemy równanie

${\displaystyle WW'=nLL'=nd,}$

gdzie ${\displaystyle n}$ to względny współczynnik załamania na granicy soczewka–ośrodek, a ${\displaystyle d}$ to grubość soczewki.

Odcinek ${\displaystyle WW'}$ jest równy ${\displaystyle AL+d+L'A'.}$ Możemy użyć podstawień ${\displaystyle AL={\frac {k}{x}}}$ i ${\displaystyle L'A'={\frac {k}{y}},}$ gdzie ${\displaystyle x,y}$ to odległość przedmiotu od soczewki i obrazu od soczewki, a ${\displaystyle k}$ to pewna stała. Podstawiając to do poprzedniego równania, otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {k}{x}}+{\frac {k}{y}}+d=nd.}$

Korzystając z faktu, że zarówno ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle d}$ są stałe i niezależne od zmiennych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y,}$ możemy dokonać ciągu uproszczeń:

${\displaystyle {\frac {k}{x}}+{\frac {k}{y}}+d=\mathrm {const} ,}$

${\displaystyle {\frac {k}{x}}+{\frac {k}{y}}=\mathrm {const} ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}=\mathrm {const} .}$

Wiedząc o stałości powyższego wyrażenia, możemy zapisać równanie

${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{y_{1}}}.}$

Promienie równoległe do osi skupiają się w ognisku soczewki, zatem podstawiając ${\displaystyle x_{1}\to \infty }$ i ${\displaystyle y_{1}\to f,}$ dostajemy

${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {1}{f}}.}$

Jest to jedno z wielu możliwych wyprowadzeń tego wzoru^[2].

Wnioski wynikające z równania soczewki

Ze wzoru można odczytać, że gdy ${\displaystyle x\to \infty ,}$ czyli padające promienie stają się równoległe do osi optycznej, wówczas ${\displaystyle y\to f.}$ Oznacza to, że promienie po przejściu przez soczewkę skupiają się w odległości ${\displaystyle f}$ od soczewki, czyli w ognisku^[4]. Równanie jest symetryczne ze względu na zamianę ${\displaystyle x}$ z ${\displaystyle y.}$ Oznacza to, że można odwrócić bieg promieni i będą poruszały się one po tym samym torze. Jeżeli zatem źródło światła umieszczone zostanie w ognisku, po przejściu przez soczewkę promienie będą równoległe do osi optycznej^[5].

Z równania wywnioskować można również, że w przypadku gdy ${\displaystyle x<f,}$ ${\displaystyle y}$ staje się ujemne, co oznacza, że obraz powstaje po tej samej stronie soczewki, po której znajduje się przedmiot (jest to obraz pozorny). Podobnie, gdy ogniskowa ${\displaystyle f<0}$ (w soczewkach rozpraszających), również ${\displaystyle y<0}$^[6].

Zastosowanie

Wzór ten jest tylko pewnym przybliżeniem. Jest on dobrze spełniony dla promieni przyosiowych i w przypadku, gdy soczewka jest cienka w porównaniu z odległościami występującymi we wzorze^[7].

Zazwyczaj używa go się do wyznaczania położenia obrazu, gdy znane jest położenie przedmiotu i soczewki. Obowiązuje on również w przypadku zwierciadeł, z tym że odwrotnie niż dla soczewek, ${\displaystyle y}$ jest dodatnie, gdy obraz powstaje przed zwierciadłem (obraz rzeczywisty) i ujemne, gdy powstaje za zwierciadłem (obraz pozorny)^[8]. Dla zwierciadła płaskiego ${\displaystyle f\to \infty }$ i z równania soczewki wynika, że ${\displaystyle y=-x}$^[3].

Postać Newtona równania soczewki

Równanie soczewki można również zapisać w postaci Newtona

${\displaystyle x_{o}x_{i}=f^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle x_{o}}$ – odległość przedmiotu od ogniska,

${\displaystyle x_{i}}$ – odległość obrazu od ogniska^[7][9].

Przypisy

1. Mizerski 2013 ↓, Soczewki, s. 245.
2. Meyer-Arendt 1972 ↓, Thin lenses, s. 41.
3. Meyer-Arendt 1972 ↓, Mirrors, s. 24.
4. Meyer-Arendt 1972 ↓, Mirrors, s. 28.
5. Meyer-Arendt 1972 ↓, Ray tracing, s. 56.
6. Meyer-Arendt 1972 ↓, Mirrors, s. 25.
7. RodR. Nave RodR., Thin Lens Equation [online], HyperPhysics [dostęp 2021-06-23]  (ang.).
8. Mizerski 2013 ↓, Odbicie światła, s. 241.
9. Meyer-Arendt 1972 ↓, Thin lenses, s. 43.

Bibliografia

• Jurgen R.J.R. Meyer-Arendt Jurgen R.J.R., Introduction to classical and modern optics, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1972, ISBN 978-0-13-479436-5 [dostęp 2021-06-23]  (ang.).
• WitoldW. Mizerski WitoldW., Tablice fizyczno-astronomiczne, wyd. 5 zaktualiz., Warszawa: Adamantan, 2013, ISBN 978-83-7350-245-1, OCLC 869924720 [dostęp 2021-06-23] .