Trójkąt Yang Hui (Pascala) z użyciem patyczków, przedstawiony przez Zhu Shijie w 1303.
Patyczki do liczenia (chiń. upr.籌; chiń. trad.筹; pinyinchóu; jap. 算木, sangi) to małe pręciki, zwykle mające 3–14 cm długości, używane przez matematyków w Chinach, Japonii, Korei i Wietnamie. Są one rozkładane poziomo lub pionowo, aby przedstawić dowolną liczbę lub ułamek.
Zapis bazujący na ich ułożeniu nazywa się patyczki liczbowe. Jest to prawdziwie pozycyjny system liczbowy z cyframi od 1 do 9, a później także i 0.
Historia
Patyczki do liczenia były używane przez starożytnych Chińczyków od ponad dwóch tysięcy lat. W 1954 odnaleziono 40 patyczków z Okresu Walczących Królestw w Zuojiagongshan (左家公山) w Changsha w prowincji Hunan[1].
W 1973 archeolodzy odkryli kilka drewnianych skryptów w grobie z czasów dynastii Han w Hubei, na jednym z nich znajdowała się inskrypcja: „当利二月定算”, jest to jeden z najwcześniejszych przykładów stosowania patyczków liczbowych w zapisie.
W 1976, pakiet kościanych patyczków z czasów Dynastii Han został odkryty w powiecie Qianyang w Shanxi.[2] Oznacza to, że patyczki musiały być używane także wcześniej; Laozi, w tekście z Okresu Walczących Królestw, powiedział „dobry kalkulator nie korzysta z patyczków”[3].
Gdy rozkwitła era abakusa, patyczki zostały porzucone, z wyjątkiem Japonii, gdzie rozwinięto z nich symboliczny zapis do algebry.
Sposób użycia
Patyczki liczbowe przedstawiają cyfry za pomocą ilości patyczków, przy czym prostopadłe patyczki oznaczają pięć. Aby uniknąć nieporozumień, poziome i pionowe formy są używane zamiennie. W ogólności, pionowe pręciki przedstawiają jednostki, setki, dziesiątki tysięcy, itd. Natomiast poziome oznaczają dziesiątki, tysiące, setki tysięcy itd. Sun Zi napisał, że „jeden jest pionowe, dziesięć jest poziome”[4][5]. Później kamień do gry w go był czasem używany do przedstawienia 0.
Zamienność form pionowych i poziomych jest bardzo istotna aby prawidłowo zrozumieć inskrypcje w rękopisach. Na przykład, w Licheng suanjin, 81 zapisano jako , a 108 zapisano jako ; jasne jest, że na drugim umieszczono puste zero na „planszy do liczenia” (np.: podłodze lub macie), nawet jeśli w zapisie nie było odstępu. W tym samym rękopisie, 405 zapisano jako , z odstępem z oczywistych powodów, a nie ma sposobu, aby odczytać to jako „45” . Innymi słowy, zapisywane cyfry patyczkowe niekoniecznie muszą być pozycyjne, lecz na planszy do liczenia z pewnością są. jest dokładnym obrazem liczby patyczkowej na planszy.
Wartość cyfry patyczkowej w zależności od pozycji w Encyklopedii Cesarza Yongle
Matematyk dynastii Song Jia Xian stosował ręcznie zapisane kolejno chińskie potęgi dziesiątki 步十百千万 jako wartość cyfry patyczkowej na zadanej pozycji, jak to wynika ze szkicu na stronie w Encyklopedii Cesarza Yongle. Ułożył on 七万一千八百二十四 (7 10000 1 1000 8 100 2 10 4) jako
七一八二四
7
1
8
2
4
万千百十步
10000
1000
100
10
krok
Potraktował on chińskie potęgi dziesiątki jako znaczniki pozycji, a 七一八二四 stały się pozycyjnymi cyframi dziesiętnymi. Następnie zapisał cyfry patyczkowe na pozycyjnych cyfrach dziesiętnych:
七
一
八
二
四
万
千
百
十
步
Japońska plansza do liczenia z siatkąpatyczki liczbowe w japońskiej książce do matematyki
W Japonii, matematycy umieszczali patyczki liczbowe na planszy do liczenia, arkuszu materiału z siatką, i używali jedynie pionowych form w oparciu o siatkę.
Liczby patyczkowe to pozycyjny system liczbowy utworzony z kształtów patyczków liczbowych. Liczby dodatnie zapisujemy wprost a ujemne z ukośnym słupkiem na ostatniej cyfrze. Pionowy słupek w poziomych formach 6–9 jest krótszy, aby zachować tę samą wysokość wszystkich znaków.
Okrąg (〇) reprezentuje 0. Wielu historyków myśli, że Gautama Siddha zapożyczył go od cyfr indyjskich w 718[4], lecz inni sądzą, że został utworzony od chińskiego wypełniacza miejsca na tekst „□”[6].
W XIII wieku matematycy Dynastii Song zmienili zapis cyfr dla 4, 5 i 9, aby zredukować liczbę kresek[6]. Nowa pozioma forma ostatecznie przekształciła się w cyfry Suzhou. Japończycy kontynuowali użycie form tradycyjnych.
Liczby dodatnie (tradycyjne)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pionowe
Poziome
Liczby ujemne (tradycyjne)
-0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Pionowe
Liczby dodatnie (Dynastia Song)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pionowe
Poziome
Przykłady:
Tradycyjny
Dynastia Song
231
5089
-407
-6720
Ułamki
Ułamek 1/7
Ułamki liczb patyczkowych są wyrażane jako dwie liczby patyczkowe jedna nad drugą (bez żadnych dodatkowych symboli jak współczesna kreska ułamkowa).
Unicode
Unicode 5.0 zawiera cyfry dla liczb patyczkowych w zarezerwowanym dla nich obszarze Supplementary Multilingual Plane (SMP) od U+1D360 do U+1D37F. Kody znaków dla cyfr poziomych 1-9 są w obszarze od U+1D360 do U+1D368, a ich odpowiedniki pionowe od U+1D369 do U+1D371. Te pierwsze to tzw. jednostki, a drugie dziesiątki[7], co jest sprzeczne z zasadami opisanymi wyżej. Zero należy przedstawiać za pomocą U+3007 (〇, ideographic number zero), a znak negacji jako U+20E5 (combining reverse solidus overlay)[8]. Jako że znaki te zostały umieszczone w zbiorze Unicode niedawno oraz z uwagi na to, że są dodane do SMP, ich dostępność w czcionkach może być mocno ograniczona. Szare obszary oznaczają kody nieprzypisane.
↑ abQīngxiáng Wáng: Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods). Tokyo: Tōyō Shoten, 1999. ISBN 4-88595-226-3. Brak numerów stron w książce