巨大過剰数 [ 1] 英 : colossally abundant number 自然数 n であって、すべての k > 1 に対して
nの約数の総和を表すσ1 (n)≡σ(n) のグラフ(n≦250)
σ σ -->
(
n
)
n
1
+
ε ε -->
≥ ≥ -->
σ σ -->
(
k
)
k
1
+
ε ε -->
{\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}\geq {\frac {\sigma (k)}{k^{1+\varepsilon }}}}
を満たすような ε > 0 が存在するものである[ 2] σ は約数関数 である。
巨大過剰数は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャン により考案された。
巨大過剰数は、小さい順に
2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440 , 720720 , 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 , 160626866400 , 321253732800, 9316358251200, 288807105787200, 2021649740510400, 6064949221531200, 224403121196654400,…（オンライン整数列大辞典 の数列 A004490 ）
巨大過剰数のうち 2 は不足数 、6 は完全数 であり、12 以上の巨大過剰数は全て過剰数 である。
すべての巨大過剰数は超過剰数 である。隣り合う巨大過剰数の比は、
2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2, 11, 13, 2, 3, 5, 17, 19, 23, 2, 29, 31, 7, 3, 37, 41, 43, 2, 47, 53, 59, 5, 61, 67, 71, 73, 11, 79, 2, 83, 3, 89, 97, 13, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 2, 149, 151, 7, 157, 163, 167, 17, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 19, 211, 3,…（オンライン整数列大辞典 の数列 A073751 ）
100番目の巨大過剰数は、171桁の数
533187564151227457465199401229454876347036513892234205802944360099435118364718466037392872608220305945979716166395732328054742493039981726997486787797703088097204529280000
で、
σ σ -->
(
n
)
n
{\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}
また、少なくとも107 番目までは、隣り合う巨大過剰数の比は素数 になる。107 番目の巨大過剰数は、77908696桁の数で、
σ σ -->
(
n
)
n
{\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}
[ 3]
σ σ -->
(
c
)
c
≥ ≥ -->
n
{\displaystyle {\frac {\sigma (c)}{c}}\geq n}
を満たす最小の巨大過剰数 c は、
6, 120, 55440, 367567200, 288807105787200, 1970992304700453905270400, 46015447651610234928592313897306120347488000, 20945137389024582113645213620899991935836129981347124754955196200225728000,…（オンライン整数列大辞典 の数列 A110442 ）
巨大過剰数は最初にラマヌジャンによって研究され、彼の発見は高度合成数 に関する1915年の論文に含まれることを意図していた。[ 4] ロンドン数学会 は、当時財政難に陥っており、ラマヌジャンは印刷のコストを削減するために作品の側面を削除することに同意した。[ 5] リーマン予想 を条件としており、この仮定により、巨大過剰数のサイズの上限と下限を見つけ、Robinの不等式（以下を参照）として知られるようになるものが n の 値が十分に大きいすべての整数に当てはまることを証明した。
数のクラスは、1944年のLeonidas Alaogluとポール・エルデシュ の論文でわずかに強い形で再考され、ラマヌジャンの結果を拡張しようとした。[ 6]
巨大過剰数は
2
a
2
3
a
3
5
a
5
⋯ ⋯ -->
p
(
b
)
a
p
(
b
)
{\displaystyle 2^{a_{2}}3^{a_{3}}5^{a_{5}}\cdots p(b)^{a_{p(b)}}}
という形で素因数分解 され、
a
2
≥ ≥ -->
a
3
≥ ≥ -->
⋯ ⋯ -->
≥ ≥ -->
a
p
(
b
)
{\displaystyle a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq a_{p(b)}}
を満たす数である (p (b )は 2 から数えて b 番目の素数)。
巨大過剰数は素数階乗 の積で表すことができる。（例 21621600 = 2 × 2 × 6 × 30 × 30030 = 2# × 2# × 3# × 5# × 13#）
1944年に、Alaogluとエルデシュは、2つの連続する巨大過剰数の比は常に素数であると推測した。2つの連続する巨大過剰数の比が常に素数または半素数 であることを示した。比が素数の2乗になることはない。
Alaogluとエルデシュの予想は、少なくとも107 番目の巨大過剰数までは成り立つ。
1980年代に、Guy Robinはリーマン予想が、次の不等式がすべての n > 5040 に当てはまるという主張と同じであることを示した。[ 7]
σ σ -->
(
n
)
<
e
γ γ -->
n
log
-->
log
-->
n
≈ ≈ -->
1.781072418
⋅ ⋅ -->
n
log
-->
log
-->
n
{\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n\approx 1.781072418\cdot n\log \log n\,}
オイラーの定数 ）
この不等式は、27個の数
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040（オンライン整数列大辞典 の数列 A067698 ）
で失敗することが知られている。
Robinは、リーマン予想が真である場合、n = 5040 が失敗する最大の整数であることを示した。不等式は、彼の仕事の後、Robinの不等式として知られている。Robinの不等式は、それが成り立たない場合でも、巨大過剰数 n で失敗することが知られている。したがって、リーマン予想は、実際には、巨大過剰数 n > 5040 ごとのRobinの不等式保持と同じである。
2001-2002年に、Lagariasは、対数の代わりに調和数 を使用して、例外を必要としないRobinの主張の代替形式を示した。[ 8]
σ σ -->
(
n
)
<
H
n
+
exp
-->
(
H
n
)
log
-->
(
H
n
)
{\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})}
または、n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60の8個の例外を除いて、
σ σ -->
(
n
)
<
exp
-->
(
H
n
)
log
-->
(
H
n
)
{\displaystyle \sigma (n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})}
優高度合成数 [ 1] 英 : superior highly composite number 自然数 n であって、n より小さいすべての自然数k、nより大きいすべての自然数kに対して
d
(
n
)
n
ε ε -->
≥ ≥ -->
d
(
k
)
k
ε ε -->
{\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}
を満たすようなものである。ただし d は約数関数 である。優高度合成数は、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。
優高度合成数は、小さい順に
2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, 13967553600, 321253732800, 2248776129600, 65214507758400, 195643523275200, 6064949221531200,…（オンライン整数列大辞典 の数列 A002201 ）
2 は合成数 ではないが、優高度合成数に含める。すべての優高度合成数は高度合成数 である。2から6983776800までの最初の15個は、巨大過剰数と同じ数で、13967553600が最小の巨大過剰数でない数になる。優高度合成数は素数階乗の積で表すことができる。
隣り合う優高度合成数の比は、
2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2, 11, 13, 2, 3, 5, 17, 19, 2, 23, 7, 29, 3, 31, 2, 37, 41, 43, 47, 5, 53, 59, 2, 11, 61, 3, 67, 71, 73, 79, 13, 83, 89, 2, 97, 101, 103, 107, 7, 109, 113, 17, 127, 131, 137, 139, 3, 5, 149, 151, 19, 2, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199,…（オンライン整数列大辞典 の数列 A000705 ）
隣り合う優高度合成数の比がすべて素数になるのかどうかは未解決である。[ 1]
優高度合成数の約数の個数は、
2, 4, 6, 12, 16, 24, 48, 60, 120, 240, 288, 384, 576, 1152, 2304, 2688, 5376, 8064, 16128, 20160, 40320, 46080, 92160, 184320, 368640, 737280, 983040, 1966080, 3932160, 4423680, 6635520, 13271040, 15925248, 31850496, 63700992, 127401984,…（オンライン整数列大辞典 の数列 A098895 ）
巨大過剰数でも優高度合成数でもある数は、
2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, 321253732800, 6064949221531200, 791245405339403414400, 37188534050951960476800, 581442729886633902054768000（オンライン整数列大辞典 の数列 A224078 ）
で、20個ある。
その最大の数は、27桁の数
581442729886633902054768000 = (2#)3 × 3# × 5# × 7# × 59#
である。
巨大過剰数で、高度合成数であるが優高度合成数でない数は、
160626866400, 9316358251200, 288807105787200, 2021649740510400, 224403121196654400, 9200527969062830400, 395622702669701707200, 1970992304700453905270400, 35468006523084668025340848000, 135483209545341953934626770390608000（オンライン整数列大辞典 の数列 A304235 ）
で、32個ある。
その最大の数は、146桁の数
15674192680883163460230707760179854420231328263699114125427471747127198714148839614493194290620754440061009953799177373703305361724989502049920000 = (2#)4 × (3#)2 × 5# × 7# × 23# × 317#
である。
優高度合成数で、超過剰数であるが巨大過剰数でない数は、
13967553600, 2248776129600, 65214507758400, 195643523275200, 12129898443062400, 448806242393308800, 18401055938125660800, 185942670254759802384000, 9854961523502269526352000, 1162885459773267804109536000, 780296143507862696557498656000（オンライン整数列大辞典 の数列 A304234 ）
で、39個ある。
その最大の数は、144桁の数
296672416672867447196795730476590304483873721079478500796734481018180417302501696173372762598500084039009652122381906126876442177760053666560000 = (2#)4 × (3#)3 × 5# × 7# × 23# × 313#
である。
超過剰数、高度合成数であるが巨大過剰数、優高度合成数でない数は、
1, 4, 24, 36, 48, 180, 240, 720, 840, 1260, 1680, 10080, 15120, 25200, 27720, 110880, 166320, 277200, 332640, 554400, 665280, 2162160, 3603600, 7207200, 8648640, 10810800, 36756720, 61261200, 73513440, 122522400, 147026880, 183783600, 698377680, 735134400, 1102701600,…（オンライン整数列大辞典 の数列 A338786 ）
で、358個ある。
その最大の数は、154桁の数
6673677805609568153080220113289093737608697348112335683143355114958436572669652057828038735276428369020778066916839412571610096354615871011364980958080000 = (2#)4 × (3#)2 × 5# × 11# × 23# × 347# である。
n
素因数分解
素数階乗 の積
比
σ σ -->
(
n
)
n
{\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}
1
2
2
2#
2
1.500
2
6
2×3
3#
3
2.000
3
12
22 ×3
2#×3#
2
2.333
4
60
22 ×3×5
2#×5#
5
2.800
5
120
23 ×3×5
(2#)2 ×5#
2
3.000
6
360
23 ×32 ×5
2#×3#×5#
3
3.250
7
2520
23 ×32 ×5×7
2#×3#×7#
7
3.714
8
5040
24 ×32 ×5×7
(2#)2 ×3#×7#
2
3.838
9
55440
24 ×32 ×5×7×11
(2#)2 ×3#×11#
11
4.187
10
720720
24 ×32 ×5×7×11×13
(2#)2 ×3#×13#
13
4.509
11
1441440
25 ×32 ×5×7×11×13
(2#)3 ×3#×13#
2
4.581
12
4324320
25 ×33 ×5×7×11×13
(2#)2 ×(3#)2 ×13#
3
4.699
13
21621600
25 ×33 ×52 ×7×11×13
(2#)2 ×3#×5#×13#
5
4.855
14
367567200
25 ×33 ×52 ×7×11×13×17
(2#)2 ×3#×5#×17#
17
5.141
15
6983776800
25 ×33 ×52 ×7×11×13×17×19
(2#)2 ×3#×5#×19#
19
5.412
16
160626866400
25 ×33 ×52 ×7×11×13×17×19×23
(2#)2 ×3#×5#×23#
23
5.647
17
321253732800
26 ×33 ×52 ×7×11×13×17×19×23
(2#)3 ×3#×5#×23#
2
5.692
18
9316358251200
26 ×33 ×52 ×7×11×13×17×19×23×29
(2#)3 ×3#×5#×29#
29
5.888
19
288807105787200
26 ×33 ×52 ×7×11×13×17×19×23×29×31
(2#)3 ×3#×5#×31#
31
6.078
20
2021649740510400
26 ×33 ×52 ×72 ×11×13×17×19×23×29×31
(2#)3 ×3#×7#×31#
7
6.187
21
6064949221531200
26 ×34 ×52 ×72 ×11×13×17×19×23×29×31
(2#)2 ×(3#)2 ×7#×31#
3
6.238
22
224403121196654400
26 ×34 ×52 ×72 ×11×13×17×19×23×29×31×37
(2#)2 ×(3#)2 ×7#×37#
37
6.407
…
…
…
…
…
…
100
5331875641…………
4529280000 (171桁)
210 ×36 ×54 ×73 ×112 ×132 ×172 ×192 ×232 ×29
×31×…×379×383
(2#)4 ×(3#)2 ×5#×7#×23#
×383#
383
10.568
…
…
…
…
…
…
1000
(3215桁)
215 ×39 ×56 ×75 ×114 ×133 ×173 ×193 ×233 ×292
×312 ×…×1092 ×1132 ×127×131×…×7349
×7351
(2#)6 ×(3#)3 ×5#×7#×11#
×23#×113#×7351#
7351
15.851
…
…
…
…
…
…
10000
(44846桁)
219 ×312 ×58 ×76 ×115 ×135 ×174 ×194 ×234 ×293
×313 ×…×593 ×613 ×672 ×712 ×…×4332 ×4392
×443×449×…×103043×103049
(2#)7 ×(3#)4 ×(5#)2 ×7#×13#
×23#×61#×439#×103049#
103049
20.557
…
…
…
…
…
…
107
(77908696桁)
33.849
n
素因数分解
素数階乗 の積
比
約数 の個数
1
2
2
2#
2
2
2
6
2×3
3#
3
4
3
12
22 ×3
2#×3#
2
6
4
60
22 ×3×5
2#×5#
5
12
5
120
23 ×3×5
(2#)2 ×5#
2
16
6
360
23 ×32 ×5
2#×3#×5#
3
24
7
2520
23 ×32 ×5×7
2#×3#×7#
7
48
8
5040
24 ×32 ×5×7
(2#)2 ×3#×7#
2
60
9
55440
24 ×32 ×5×7×11
(2#)2 ×3#×11#
11
120
10
720720
24 ×32 ×5×7×11×13
(2#)2 ×3#×13#
13
240
11
1441440
25 ×32 ×5×7×11×13
(2#)3 ×3#×13#
2
288
12
4324320
25 ×33 ×5×7×11×13
(2#)2 ×(3#)2 ×13#
3
384
13
21621600
25 ×33 ×52 ×7×11×13
(2#)2 ×3#×5#×13#
5
576
14
367567200
25 ×33 ×52 ×7×11×13×17
(2#)2 ×3#×5#×17#
17
1152
15
6983776800
25 ×33 ×52 ×7×11×13×17×19
(2#)2 ×3#×5#×19#
19
2304
16
13967553600
26 ×33 ×52 ×7×11×13×17×19
(2#)3 ×3#×5#×19#
2
2688
17
321253732800
26 ×33 ×52 ×7×11×13×17×19×23
(2#)3 ×3#×5#×23#
23
5376
18
2248776129600
26 ×33 ×52 ×72 ×11×13×17×19×23
(2#)3 ×3#×7#×23#
7
8064
19
65214507758400
26 ×33 ×52 ×72 ×11×13×17×19×23×29
(2#)3 ×3#×7#×29#
29
16128
20
195643523275200
26 ×34 ×52 ×72 ×11×13×17×19×23×29
(2#)2 ×(3#)2 ×7#×29#
3
20160
21
6064949221531200
26 ×34 ×52 ×72 ×11×13×17×19×23×29×31
(2#)2 ×(3#)2 ×7#×31#
31
40320
^ a b c “高度合成数〜なんかよく見る数〜 ”. Qiita . 2021年9月5日 閲覧。
^ K. Briggs (2006). “Abundant Numbers and the Riemann Hypothesis” (PDF). Experimental Mathematics 15 (2): 251–256. doi :10.1080/10586458.2006.10128957 . https://projecteuclid.org/journalArticle/Download?urlId=em%2F1175789744 2021年9月12日 閲覧。 ^ “A073751 - OEIS ”. oeis.org . 2021年9月5日 閲覧。 ^ Ramanujan, S. (1915). “Highly Composite Numbers” . Proceedings of the London Mathematical Society s2_14 (1): 347–409. doi :10.1112/plms/s2_14.1.347 . ISSN 0024-6115 . https://doi.org/10.1112/plms/s2_14.1.347 . ^ S., Ramanujan, (1962). Collected Papers of Srinivasa Ramanujan OCLC 847093277 . http://worldcat.org/oclc/847093277 ^ Nicolas, Jean-Louis; Sondow, Jonathan (2014). “Ramanujan, Robin, highly composite numbers, and the Riemann Hypothesis” . Ramanujan 125 : 145–156. doi :10.1090/conm/627/12539 . ISSN 0271-4132 . https://doi.org/10.1090/conm/627/12539 . ^ Aubin, T.; Bahri, A. (1997-12). “Une hypothèse topologique pour le problème de la courbure scalaire prescrite” . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 76 (10): 843–850. doi :10.1016/s0021-7824(97)89973-4 . ISSN 0021-7824 . https://doi.org/10.1016/s0021-7824(97)89973-4 . ^ Lagarias, Jeffrey C. (2002-06). “An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis” . The American Mathematical Monthly 109 (6): 534–543. doi :10.1080/00029890.2002.11919883 . ISSN 0002-9890 . https://doi.org/10.1080/00029890.2002.11919883 .
被整除性に基づいた整数の集合
概要 因数分解による分類 約数和による分類 約数が多いもの アリコット数列 関連位取り記法 に基づくものその他
