Kynea数

Kynea数とは、

${\displaystyle 4^{n}+2^{n+1}-1}$ または ${\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2}$ で表される自然数である。

上の数式の通り、4の n 乗と n+1 番目のメルセンヌ数の和である。Kynea数はCletus Emmanuelによって研究され、Cletus Emmanuelの娘の名にちなんでKynea数と名付けられた^[1]。Kynea数は小さい順に

7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, ... (A093069)

と続く。

性質

n番目のKynea数を二進記数法で表すと、1の後にn - 1 個の 0 が並び、n + 1 個の 1 が並ぶ。 そのため、

${\displaystyle 4^{n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}}$

とも表現できる。 例えば23は二進記数法で10111であり、79は1001111となる。 n番目のKynea数とn番目のキャロル数は、2ⁿ⁺¹ の符号が異なるだけであるため、その差は 2ⁿ⁺² である。

Kynea素数

Kynea 数
n	10進	2進
1	7	111
2	23	10111
3	79	1001111
4	287	100011111
5	1087	10000111111
6	4223	1000001111111
7	16639	100000011111111
8	66047	10000000111111111
9	263167	1000000001111111111

7から3つおきに、Kynea数は7の倍数になる。そのため、3x + 1 番目（0<x）のKynea数は素数にはなりえない。Kynea素数は、小さい順に 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, …(A091514)と並ぶ。

2018年2月 (2018-02)現在^[update], 既知の最大のKynea素数はn = 661478番目のKynea数であり、398250桁の数である^[2][3]。この素数はMark Rodenkirchが2016の6月にCKSieveプログラムとPrimeFormGWを用いて発見したものであり、50番目のKynea素数である。

一般化

b進Kynea数を、 (bⁿ + 1)² − 2 （n ≥ 1）と定義できる。b進Kynea数はbが奇数の場合には偶数であるため、bが偶数のときにのみKynea素数を持つ。

{(2b)ⁿ + 1}² − 2 が素数となるb進Kynea数の、最小の項は

1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, ...番目に現れる

b	(b^n+1)^2 − 2 が素数となるn (n が30000までは網羅)	OEIS
2	1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, ...	A091513
4	1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, ...
6	1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, ...	A100902
8	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, ...
10	22, 351, 1061, ...	A100904
12	1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, ...
14	1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, ...	A100906
16	2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, ...
18	1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, ...
20	1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, ...
22	3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, ...	A100908
24	24, 321, 971, 984, ...
26	1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, ...
28	1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, ...
30	2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, ...
32	1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, ...
34	1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, ...
36	1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, ...
38	6, 279, 3490, ...
40	2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, ...
42	1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, ...
44	3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, ...
46	1, 54, 2040, 3063, ...
48	1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, ...
50	4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, ...

2018年2月 (2018-02)現在^[update], b進Kynea数で知られている最大の素数は (30¹⁵⁷⁹⁵⁰ + 1)² − 2 である。

関連項目

キャロル数

参考文献

1. Cletus Emmanuel's statement on Yahoo group PrimeNumbers
2. Entry for 661478th Kynea number at Prime Pages
3. Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Near-Square Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
• Prime Database entry for Kynea(661478)
• Carol and Kynea Primes
• Carol and Kynea Prime Search